Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 642954
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, при­ме­нив фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции и за­ме­ним раз­ность ло­га­риф­мов на раз­ность их ар­гу­мен­тов, учи­ты­вая, что ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше 1:

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 4 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0,x минус 4 боль­ше 0, x минус 6 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 10x плюс 23, зна­ме­на­тель: x минус 6 конец дроби мень­ше или равно 0,x боль­ше 4, x боль­ше 6 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 5 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,6 мень­ше x мень­ше или равно 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , конец си­сте­мы . x боль­ше 6 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 6 мень­ше x мень­ше или равно 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 6;5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ведём дру­гой спо­соб.

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0 , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка . конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Пер­вое не­ра­вен­ство пер­вой си­сте­мы не имеет ре­ше­ний, зна­чит, со­во­куп­ность рав­но­силь­на вто­рой си­сте­ме:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 4 боль­ше или равно x минус 6 боль­ше 0,0 мень­ше x минус 4 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби x минус 6 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 6 боль­ше 0,x минус 4 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби x минус 6 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 6,x в квад­ра­те минус 10x плюс 23 мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 6,5 минус ко­рень из 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 5 плюс ко­рень из 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 6 мень­ше x мень­ше или равно 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 6;5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ведём ещё один спо­соб.

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

1.  Найдём ОДЗ не­ра­вен­ства:

си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 4 боль­ше 0,x минус 6 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x боль­ше 6.

2.  Найдём корни, решив со­от­вет­ству­ю­щее урав­не­ние:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 6 конец дроби рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 4= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x минус 6 конец дроби ,x боль­ше 6 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x=5 \pm ко­рень из 2 ,x боль­ше 6 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x=5 плюс ко­рень из 2 .

3.  От­ме­тим ОДЗ и ко­рень на одной оси и про­ве­рим каж­дый из по­лу­чив­ших­ся ин­тер­ва­лов:

Из ин­тер­ва­ла левая круг­лая скоб­ка 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка под­ста­вим в ис­ход­ное не­ра­вен­ство x=9:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 9 минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 9 минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те 5 мень­ше или равно 1  — не­вер­но.

Из ин­тер­ва­ла левая круг­лая скоб­ка 6; 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка под­ста­вим в ис­ход­ное не­ра­вен­ство x=6 \tfrac13:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 6 \tfrac13 минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 6 \tfrac13 минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 в квад­ра­те 2 \tfrac13 мень­ше или равно 1   — верно.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ 6 мень­ше x мень­ше или равно 5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 6;5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 642954: 643082 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств. Ло­га­риф­мы
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025