Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 527635

Решите неравенство: 2 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка \geqslant1.

Спрятать решение

Решение.

Найдем область определения неравенства:

 система выражений x минус 2 больше 0,x в квадрате минус x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений x больше 2, совокупность выражений x меньше минус 1,x больше 2 конец системы . конец совокупности . равносильно x больше 2.

На найденной области определения

 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ,

откуда имеем:

2 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \geqslant1 равносильно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant1 равносильно

 равносильно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 равносильно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно

 \underset дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1\mathop равносильно x минус 2 меньше или равно дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x минус 4 меньше или равно x плюс 1 равносильно x\leqslant5.

Учитывая, что x больше 2, получаем, что 2 меньше x меньше или равно 5.

 

Ответ:  левая круглая скобка 2; 5 правая квадратная скобка .

 

Примечание.

Отметим, что в общем случае справедливо следующее представление логарифма произведения:

 логарифм по основанию c левая круглая скобка ab правая круглая скобка = система выражений логарифм по основанию c a плюс логарифм по основанию c b, если a больше 0, b больше 0, логарифм по основанию c левая круглая скобка минус a правая круглая скобка плюс логарифм по основанию c левая круглая скобка минус b правая круглая скобка , если a меньше 0, b меньше 0. конец системы .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280.
Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства