a₁, a₂, a₃, ... – воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел. Из­вест­но, что для лю­бо­го Найти:

а)  a₁₀₀;

б)  a₁₉₈₃.

В бес­ко­неч­ной воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел каж­дое де­лит­ся хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006 , но ни одно не де­лит­ся на 97. Кроме того, каж­дые два со­сед­них числа от­ли­ча­ют­ся не более, чем на k. При каком наи­мень­шем k такое воз­мож­но?

Дана бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность чисел в ко­то­рой при каж­дом k член по­сле­до­ва­тель­но­сти x_k яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния

1.  Най­ди­те наи­боль­ший по­ряд­ко­вый номер k члена по­сле­до­ва­тель­но­сти такой, что в де­ся­тич­ной за­пи­си числа x ис­поль­зу­ет­ся не более семи цифр.

2.  Ука­жи­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число N, среди де­ли­те­лей ко­то­ро­го со­дер­жит­ся ровно 8 чле­нов дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти.

3.  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что сумма n иду­щих под­ряд

чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти равна не­ко­то­ро­му члену этой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

4.  Су­ще­ству­ет ли набор из 2012 чле­нов дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти таких, что ни­ка­кая сумма не­сколь­ких из этих чисел не яв­ля­ет­ся пол­ным квад­ра­том.

В бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти a₁, a₂, a₃, ... число a₁ равно 1, а каж­дое сле­ду­ю­щее число a_n стро­ит­ся из преды­ду­ще­го a_n – 1 по пра­ви­лу: если у числа n наи­боль­ший нечётный де­ли­тель имеет оста­ток 1 от де­ле­ния на 4, то a_n = a_{n – 1} + 1, если же оста­ток равен 3, то a_n = a_n – 1 – 1. До­ка­жи­те, что в этой

по­сле­до­ва­тель­но­сти

а)  число 1 встре­ча­ет­ся бес­ко­неч­но много раз;

б)  каж­дое на­ту­раль­ное число встре­ча­ет­ся бес­ко­неч­но много раз.

(Вот пер­вые члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)

Ста­нок вы­пус­ка­ет де­та­ли двух типов. На ленте его кон­вей­е­ра вы­ло­же­ны в одну линию 75 де­та­лей. Пока кон­вей­ер дви­жет­ся, на стан­ке го­то­вит­ся де­таль того типа, ко­то­ро­го на ленте мень­ше. Каж­дую ми­ну­ту оче­ред­ная де­таль па­да­ет с ленты, а под­го­тов­лен­ная кла­дет­ся в ее конец. Через не­ко­то­рое число минут после вклю­че­ния

кон­вей­е­ра может слу­чить­ся так, что рас­по­ло­же­ние де­та­лей на ленте впер­вые по­вто­рит на­чаль­ное. Най­ди­те:

а)  наи­мень­шее такое число,

б)  все такие числа.

По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой где

а)  Может ли число 15 яв­лять­ся чле­ном по­сле­до­ва­тель­но­сти?

б)  Верно ли, что дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей?

в)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность яв­лять­ся гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей?

г)  Могут ли три под­ряд иду­щих члена по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­лять­ся сто­ро­на­ми пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка?

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с це­ло­чис­лен­ны­ми сто­ро­на­ми.

а)  Могут ли сто­ро­ны дан­но­го тре­уголь­ни­ка быть чле­на­ми воз­рас­та­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии?

б)  До­ка­жи­те, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го n можно найти такие три числа, ко­то­рые будут яв­лять­ся сто­ро­на­ми этого тре­уголь­ни­ка и чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с раз­но­стью n.

Не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, на­чи­ная с чет­но­го числа. Сумма не­чет­ных чле­нов про­грес­сии равна 33, чет­ных  — 44. Най­ди­те эти числа.

Дана бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность чисел, в ко­то­рой пер­вый член равен 1, а каж­дый по­сле­ду­ю­щий в два раза мень­ше преды­ду­ще­го.

а)  Можно ли из дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­де­лить бес­ко­неч­ную гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, сумма чле­нов ко­то­рой равна

б)  Можно ли из дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­де­лить бес­ко­неч­ную гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, сумма чле­нов ко­то­рой равна

Можно ли из по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 1/2, 1/3, … вы­брать (со­хра­няя по­ря­док)

а)  сто чисел,

б)  бес­ко­неч­ную по­сле­до­ва­тель­ность чисел, из ко­то­рых каж­дое, на­чи­ная с тре­тье­го, равно раз­но­сти двух преды­ду­щих

В воз­рас­та­ю­щей ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сумма цифр чле­нов тоже об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Может ли в про­грес­сии быть:

а)  11 чле­нов;

б)  бес­ко­неч­ное число чле­нов?

В ряд вы­пи­са­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа, де­ля­щи­е­ся на 9: 9, 18, 27, 36, …. Под каж­дым чис­лом этого ряда за­пи­са­на сумма его цифр.

а)  На каком месте во вто­ром ряду впер­вые встре­тит­ся число 81?

б)  Что встре­тит­ся рань­ше: че­ты­ре раза под­ряд число 27 или один раз число 36?

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию (n > 3).

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 14?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 123.

Име­ет­ся ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из пя­ти­де­ся­ти чисел.

а)  Может ли эта про­грес­сия со­дер­жать ровно 6 целых чисел?

б)  Может ли эта про­грес­сия со­дер­жать ровно 29 целых чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число n, при ко­то­ром эта про­грес­сия не может со­дер­жать ровно n целых чисел.

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой об­ще­го члена:

а)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром

б)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром сумма n пер­вых чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти будет боль­ше, чем 0,99.

в)  Су­ще­ству­ют ли в дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти члены, ко­то­рые об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

Даны n(n 3) раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую

про­грес­сию.

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел рав­нять­ся 22?

б)  Может ли сумма всех дан­ных чисел рав­нять­ся 23?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 48.

Бес­ко­неч­ная гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия b₁, b₂,...,b_n,... со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Пусть

Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ +...+ b_n при всех на­ту­раль­ных

а)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии, для ко­то­рой среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ровно два числа де­лят­ся на 24.

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, для ко­то­рой среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ровно три числа де­лят­ся на 24.

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел среди S₁, S₂,..., S₈ может де­лить­ся на 24, если из­вест­но, что S₁ на 24 не де­лит­ся?

На доске на­пи­сан упо­ря­до­чен­ный набор из семи раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­вых че­ты­рех и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­след­них че­ты­рех чисел равно 12.

а)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 12?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 8?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел.

В воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел каж­дые три по­сле­до­ва­тель­ных члена об­ра­зу­ют либо ариф­ме­ти­че­скую, либо гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Пер­вый член по­сле­до­ва­тель­но­сти равен 1, а по­след­ний 2046.

а)  Может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть три члена?

б)  Может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть че­ты­ре члена?

в)  Может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть мень­ше 2046 чле­нов?

Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 2800, и

а)  пять;

б)  че­ты­ре;

в)  три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

Ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из не обя­за­тель­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, при­чем при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­но ра­вен­ство

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при в ко­то­рой

б)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти ока­зать­ся так, что

в)  При каком наи­боль­шем n такая по­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять толь­ко из чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 50?

В по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел каж­дый сле­ду­ю­щий член равен про­из­ве­де­нию суммы цифр преды­ду­ще­го члена и

а)  Най­ди­те пятый член по­сле­до­ва­тель­но­сти.

б)  Най­ди­те 50‐й член по­сле­до­ва­тель­но­сти.

в)  Вы­чис­ли­те сумму пер­вых пя­ти­де­ся­ти чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел ровно три числа де­лят­ся на 24?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел ровно 9 чисел де­лят­ся на 24?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го на­ту­раль­но­го числа n могло ока­зать­ся так, что среди чисел боль­ше крат­ных 24, чем среди чисел если из­вест­но, что раз­ность про­грес­сии равна 1?

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 19752... каж­дая цифра, на­чи­ная с пятой, равна по­след­ней цифре суммы преды­ду­щих четырёх цифр. Встре­тит­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти:

а)  набор цифр 1234; 3269;

б)  вто­рич­но набор 1975;

в)  набор 8197?

Для чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти целых чисел при всех на­ту­раль­ных вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

а)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние

Из­вест­но, что все члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии яв­ля­ют­ся раз­лич­ны­ми на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми и что ее вто­рой член в 8 раз боль­ше пер­во­го.

а)  Может ли один из чле­нов этой про­грес­сии быть боль­ше дру­го­го ее члена в 567 раз?

б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное от­но­ше­ние двух чле­нов этой про­грес­сии, от­лич­ных от если из­вест­но, что от­но­ше­ние яв­ля­ет­ся целым чис­лом, и ука­жи­те любую пару таких ее чле­нов.

в)  Най­ди­те тре­тий член этой про­грес­сии, если из­вест­но, что один из ее чле­нов равен 546.

Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Пусть при всех на­ту­раль­ных

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, для ко­то­рой

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, для ко­то­рой

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь

Три дву­знач­ных на­ту­раль­ных числа x₁, x₂, x₃ об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. При этом если в каж­дом из них по­ме­нять ме­ста­ми цифры де­сят­ков и еди­ниц, то по­лу­чат­ся числа y₁, y₂, y₃, ко­то­рые также об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии.

б)  Чему равна наи­боль­шая раз­ность такой про­грес­сии?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет таких про­грес­сий?