СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 527456

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 19752... каж­дая цифра, на­чи­ная с пятой, равна по­след­ней цифре суммы преды­ду­щих четырёх цифр. Встре­тит­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти:

а) набор цифр 1234; 3269;

б) вто­рич­но набор 1975;

в) набор 8197?

Решение.

а) Изначально все цифры нечетны, поэтому следующая цифра будет четна. А после нее снова будут четыре нечетные цифры — каждая получается как сумма одной четной и трех нечетных. Последовательности 1234 и 3269 содержат по две четных цифры на четырех местах.

б, в) Да. Заметим, что зная четыре цифры, можно однозначно восстановить цифру перед этой четверкой.

Всего четверок цифр конечное число, поэтому когда-то одна из них повторится. Возьмем первый момент, когда это случилось. Восстановим у обеих четверок цифру перед ними. Они будут одинаковыми, поэтому можно отступить на одну позицию назад и найти повтор раньше. Единственное исключение — если из одной четверки отступать некуда, то есть это первая четверка. Значит, 1975 когда-нибудь повторится. Отступив от него на шаг назад, получим 8197.

 

Ответ: а) нет; б) да; в) да.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 262.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии