Конечная последовательность 
состоит из 
не обязательно различных натуральных чисел, причем при всех натуральных 
выполнено равенство 
а) Приведите пример такой последовательности при 
в которой 
б) Может ли в такой последовательности оказаться так, что 
в) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих 50?
Перепишем условие в виде
Поэтому разность между двумя соседними членами последовательности увеличивается на 1.
а) Например, последовательность 5, 3, 2, 2, 3 подходит.
б) Пусть первые два члена последовательности равны a и 
Тогда их разность равна x. Поэтому
Осталось выяснить, возможно ли такое равенство:
Это уравнение не имеет целых решений.
в) Последовательность, начинающаяся с 50 и 41 содержит 20 членов. Если последовательность содержит 21 или более членов, то выберем в ней минимальный. С одной стороны от него будет минимум 11 членов или с обеих сторон будет по 10, но тогда он не будет равен им обоим сразу. В любом случае, мы сможем выбрать строго монотонную последовательность из 11 чисел, разности в которой отличаются минимум на 1. Значит, крайние числа будут отличаться минимум на
что невозможно для чисел, меньших 51.
Ответ: а) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) 20.