Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 521423

Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел.

а) Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел?

б) Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел?

в)  Найдите наименьшее число n, при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел.

Спрятать решение

Решение.

а) да, например 1; целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 ;\ldots

б) Нет. Два из этих 29 членов были бы соседними, тогда разность прогресси была бы целой, а тогда и все остальные члены прогрессии были бы целыми.

в) Заметим что прогрессия 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: k конец дроби , дробь: числитель: 2, знаменатель: k конец дроби ,\ldots, дробь: числитель: 49, знаменатель: k конец дроби содержит ровно  левая квадратная скобка дробь: числитель: 49, знаменатель: k конец дроби правая квадратная скобка плюс 1 целых чисел. Это позволяет сразу привести примеры:

Для 1 числа можно взять k=50.

Для двух можно взять k=49.

Продолжая, подберем k=24,16,12,9,8,7,6,5 для всех чисел до 10.

Допустим можно сделать прогрессию ровно с 11 целыми членами. Разобьем ее на 10 блоков по 5 чисел. Два целых попадут в один блок, поэтому разница между ними не превосходит 4d, где d — разность прогрессии. Но тогда в каждых четырех подряд членах прогрессии попадается целое число, а 50 чисел можно разбить на 12 четверок и еще два числа.

 

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 208.
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии