ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 505771 Добавить в вариант

В бесконечной последовательности a₁, a₂, a₃, ... число a₁ равно 1, а каждое следующее число a_n строится из предыдущего a_n – 1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то a_n = a_{n – 1} + 1, если же остаток равен 3, то a_n = a_n – 1 – 1. Докажите, что в этой

последовательности

а)  число 1 встречается бесконечно много раз;

б)  каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.

(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть $a_n=a_n минус 1 плюс b_n.$ Тогда $a_n=1 плюс b_2 плюс умножить на s плюс b_n.$ Заметим, что $b_2n=b_n.$ Отсюда

$a_4n=1 плюс b_2 плюс умножить на s плюс b_4n=b_2 плюс b_4 плюс умножить на s плюс b_4n плюс 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс b_3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_5 плюс b_7 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс левая круглая скобка b_4n минус 3 плюс b_4n минус 1 правая круглая скобка$ $a_4n=1 плюс b_2 плюс умножить на s плюс b_4n=$
$=b_2 плюс b_4 плюс умножить на s плюс b_4n плюс 1 плюс левая круглая скобка 1 плюс b_3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_5 плюс b_7 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс левая круглая скобка b_4n минус 3 плюс b_4n минус 1 правая круглая скобка$

$=1 плюс b_2 плюс b_3 плюс умножить на s плюс b_2n=a_2n.$ (выражения в скобках равны нулю).

Поэтому $a_2 в степени n =a_2=2,$ следовательно, $a_2 в степени n минус 1=1.$ Поэтому единиц в последовательности бесконечное число.

б)  Согласно а) $a_16n плюс 4=a_8n плюс 2 плюс a_8n плюс 1 плюс 1=a_8n плюс 2=a_4n плюс 2.$ Это значит, что члены с индексами, кратными 4, могут быть сколь угодно большими. (Мы можем увеличивать их на двойку столько, сколько нужно). Теперь утверждение задачи следует из п. а) и дискретной непрерывности.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 69

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь