В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.
а) Может ли в последовательности быть три члена?
б) Может ли в последовательности быть четыре члена?
в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
а) Средний из трех членов арифметической прогрессии есть среднее арифметическое крайних, а геометрической — среднее геометрическое. Но 
и 
не являются целыми.
б) Возможны четыре случая, какую прогрессию образуют первые три и последние три члена.
Если обе прогрессии арифметические, то это просто четырехчленная арифметическая прогрессия с разностью 
Все ее члены не могут быть целыми.
Если обе прогрессии геометрические, то это просто четырехчленная геометрическая прогрессия со знаменателем 
Все ее члены не могут быть целыми.
Если первые три числа образуют арифметическую прогрессию, а последние три геометрическую, то первые три можно обозначить за 1, 
и из свойства геометрической прогрессии получить 
то есть 
Дискриминант этого уравнения равен
и не является точным квадратом, поэтому его корни иррациональны.
Аналогично, если первые три числа дают геометрическую прогрессию и равны 1, q, 
то мы получаем уравнение 
его дискриминант равен
и не является точным квадратом, поэтому его корни иррациональны.
в) Да, например 1,2,4,6, ... ,2046. Здесь первые три числа дают геометрическую прогрессию, а все остальные — арифметическую.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.