Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521813

Бесконечная геометрическая прогрессия b1, b2,...,bn,... состоит из различных натуральных чисел. Пусть

Пусть S1 = b1 и Sn = b1 + b2 +...+ bn при всех натуральных n больше или равно 2.

а) Приведите пример такой прогрессии, для которой среди чисел S1, S2, S3, S4 ровно два числа делятся на 24.

б) Существует ли такая прогрессия, для которой среди чисел S1, S2, S3, S4 ровно три числа делятся на 24.

в) Какое наибольшее количество чисел среди S1, S2,..., S8 может делиться на 24, если известно, что S1 на 24 не делится?

Спрятать решение

Решение.

а) например 12,36,108,324. Только S_2 и S_4 кратны 24.

б) Поскольку прогрессия бесконечная, то ее знаменатель — натуральное число. Если первый член прогрессии кратен 24, то и все остальные тоже, поэтому и все суммы кратны 24. Допустим теперь, что b не кратно 24, но b плюс bq, b плюс bq плюс bq в степени 2 кратны. Тогда bq в степени 2 кратно 24. При этом bq не кратно 24, иначе b плюс bq не могло бы быть ему кратно. Значит, q четно. Тогда и b четно (ведь b плюс bq четно). Тогда bq кратно 4 (произведение двух четных чисел), а тогда и b кратно 4 (ведь b плюс bq кратно 4). Но тогда ситуация bq в степени 2 кратно 24,bq не кратно 24 невозможна - оба числа кратны 8 и либо оба кратны трем, либо оба не кратны трем.

в) Продолжая прогрессию из п. а), получим пример для четырех чисел. Попробуем доказать, что больше сделать нельзя. Допустим, таких сумм минимум пять. Тогда среди них есть две с соседними номерами, Значит, их разность — один из членов прогрессии — делится на 24.

Рассмотрим, как устроены все члены прогрессии, кратные трем. Степень тройки во всех членах прогрессии растет при увеличении номера на одну и ту же величину, или убывает на одну и ту же величину (для бесконечной прогрессии это на самом деле невозможно), или остается неизменной. Значит, либо ни один из членов прогрессии не кратен трем (а тогда и 24), либо трем кратны все члены прогрессии, кроме может быть первого или последнего. Если все, кроме первого — ни одна из сумм не будет кратна трем. Если все, кроме последнего — умножим все члены прогрессии на 3, от этого суммы не перестанут делиться на 24, первый член не начнет делиться на 24 (он и так был кратен трем). Итак, можно считать, что все члены прогрессии кратны трем. Тогда поделим их все на 3 и будем изучать делимость S_i на 8.

Рассуждая аналогично про делимость на степени двойки, придем либо к ответу 4, либо к возможности сократить все на 2 и изучению делимости на 4. Затем — к изучению делимости на 2. Для нее уже вариантов, дающих больше четырех сумм, не останется — либо все члены прогрессии имеют одинаковую четность (и Значит, нечетны и там 4 суммы), либо все четны, кроме первого (тогда четных сумм нет).

 

Ответ: а) 12, 36, 108, 324; б) нет; в) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 233.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии