Бесконечная арифметическая прогрессия 
состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел 
ровно три числа делятся на 24?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел 
ровно 9 чисел делятся на 24?
в) Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди чисел 
больше кратных 24, чем среди чисел 
если известно, что разность прогрессии равна 1?
а) Прогрессия 24, 32, 40, ..., 72 удовлетворяет условию задачи.
б) Пусть разность прогрессии равна d. Тогда два члена прогрессии с номерами, отличающимися на n, могут быть одновременно кратны 24 только если nd кратно 24. Если выбрать минимальное такое n, то числа, кратные 24, будут попадаться в последовательности через каждые n членов или не будут попадаться вовсе. Значит, они могут попадаться через 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 член. В первых пяти случаях 30 чисел накрываются не более чем восемью группами по 4 или более числа, в каждой из которых одно число кратно 24. В остальных трех в 30 числах можно выбрать 10 групп по 3 числа, в каждой из которых не менее одного подходящего числа. Поэтому ровно 9 сделать нельзя.
в) Если 
и 
дает остаток x при делении на 24, то выбрав первое же число с остатком x при делении на 24 после 
(оно будет не больше 
) и отсчитав 
чисел, начиная с него (они все будут от 
до 
) мы получим числа с теми же остатками от деления на 24, что и первые членов прогрессии. Поэтому уже среди них столько же кратных 24.
Если 
то среди чисел подряд не более трех кратных 24 (если бы их было 4 и больше, то крайние из них отличались бы минимум на 72, а это невозможно, поскольку даже крайние из всех отличаются на 
), а среди 
чисел подряд есть минимум 
из которых есть три кратных 24.
Если же взять 
и 
то среди первых 51 члена будут 24, 48, 72, а среди следующих 68 — только 96 и 120.
Ответ: а) да; б) нет; в) 17.