ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 505971 Добавить в вариант

В возрастающей арифметической прогрессии $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ сумма цифр членов тоже образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Может ли в прогрессии $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ быть:

а)  11 членов;

б)  бесконечное число членов?

Спрятать решение

Решение.

а)  Рассмотрим следующую прогрессию с первым членом 900 и разностью 901:

900, 1801, 2702, 3603, 4504, 5405, 6306, 7207, 8108, 9009, 9910

Суммы цифр её членов составляют арифметическую прогрессию: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

б)  пусть $a_1$ – первый член прогрессии, m – количество цифр в десятичной записи числа $a_1,$ d  — разность прогрессии, $s левая круглая скобка a_n правая круглая скобка$ – сумма цифр числа $a_n.$ Тогда $a_10 в степени m плюс 1=a_1 плюс 10 в степени m умножить на d,s левая круглая скобка a_10 в степени m плюс 1 правая круглая скобка =s левая круглая скобка a_1 правая круглая скобка плюс s левая круглая скобка d правая круглая скобка .$ Кроме того, $a_10 в степени левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка плюс 1=a_1 плюс 10 в степени левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка умножить на d,s левая круглая скобка a_10 в степени левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка =s левая круглая скобка a_1 правая круглая скобка плюс s левая круглая скобка d правая круглая скобка .$ Таким образом, числа $s левая круглая скобка a_1 правая круглая скобка ,s левая круглая скобка a_10 в степени m плюс 1 правая круглая скобка ,s левая круглая скобка a_10 в степени левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка$ не могут быть членами одной прогрессии, так как первое меньше второго, а второе равно третьему.

Ответ: а) да; б) нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 21

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь