ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 505693 Добавить в вариант

a₁, a₂, a₃, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что $a_a_k=3k$ для любого $k.$ Найти:

а)  a₁₀₀;

б)  a₁₉₈₃.

Спрятать решение

Решение.

а)   Сразу заметим, что последовательность a_k строго возрастает. Действительно, предположение $a_k=a_k плюс 1=n$ немедленно приводит к противоречию: $a_n=3k=3 левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка .$ Кроме того, $a_1 больше 1$ (в противном случае $a_a_1=a_1=1 не равно 3$ ). Отсюда следует, что $a_k больше k$ для всех $k.$ С другой стороны, $a_1 меньше a_a_1 = 3.$ Поэтому $a_1=2,$ $a_2=3,$ $a_3=6,$ $a_6=9,$ $a_9=18,$ $a_18=27,$ $a_27=54,$ $a_54=81,$ $a_81=162,$ $a_162=243.$ А поскольку $162 минус 81=243 минус 162,$ то $a_k=81 плюс k$ для всех k от 81 до 162. В частности, $a_100=181.$

б)   $a_162=243,$ $a_243=486,$ $a_486=729.$ Поскольку $729 минус 486=486 минус 243,$ то $a_k=243 плюс k$ для всех k от 243 до 486. В частности, $a_418=661,$ а значит, $a_661=1254,$ $a_1254=1983,$ $a_1983=3762.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 56

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь