Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505923

Несколько натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию, начиная с четного числа. Сумма нечетных членов прогрессии равна 33, четных — 44. Найдите эти числа.

Спрятать решение

Решение.

Пусть прогрессия возрастающая, тогда четных чисел больше, так как их сумма больше. Значит, последний член прогрессии — четный, и всего их нечетное число. Пусть a — первый член прогрессии, d — ее разность, 2n плюс 1 — количество членов. d — нечетное число, иначе все члены последовательности были бы четными. Из условия получаем уравнения  дробь, числитель — 2a плюс 2nd, знаменатель — 2 умножить на (n плюс 1)=44 и  дробь, числитель — 2(a плюс d) плюс (n минус 1) умножить на 2d, знаменатель — 2 умножить на n=33. Вычитая из первого второе получим, что a плюс nd=11. Тогда n=3. Получаем, что a плюс 3d=11. Возможны такие варианты: a=2,d=3 и a=8,d=1.

Таким образом, получаются прогрессии: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 и 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Ясно, что годятся и прогрессии, составленные из тех же чисел в обратном порядке. Пусть теперь прогрессия убывающая. Если последний ее член четный – то это уже разобранный выше случай. Если же последний член нечетный, то пусть их всего 2n. Из условия получаем уравнения:  дробь, числитель — 2a плюс (n минус 1) умножить на 2d, знаменатель — 2 умножить на n=44 и  дробь, числитель — 2(a плюс d) плюс (n минус 1) умножить на 2d, знаменатель — 2 умножить на n=33. Вычитая из первого второе, получаем равенство: nd= минус 11. Если d= минус 11, то прогрессия состоит из двух членов: 44, 33, если d= минус 1, то n=11, a=14, но тогда не все члены прогрессии натуральные (прогрессия получается такая: 14, 13, 12,..., −6, −7).

Таким образом, получаем ответ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 или 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 или 44, 33.

 

Ответ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 или 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 или 44, 33.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 13.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии