ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 527546 Добавить в вариант

Для членов последовательности целых чисел $a_1,a_2,...,a_10$ при всех натуральных $k\leqslant8$ выполняется неравенство $a_k плюс a_k плюс 2 больше 2a_k плюс 1.$

а)  Может ли в такой последовательности выполняться равенство $a_10=0?$

б)  Может ли в такой последовательности выполняться равенство $a_1 плюс a_10=2a_7?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение $a_1 минус a_5 минус a_6 плюс a_10?$

Спрятать решение

Решение.

Условие можно переписать в виде

$a_k минус a_k плюс 1 больше a_k плюс 1 минус a_k плюс 2,$

то есть разности между соседними числами уменьшаются.

а)  Да, например $10 в степени 9 ,10 в степени 8 ,\ldots,10 в квадрате ,10,0$ удовлетворяет условию.

б)  Да, например 0, 4, 9, 15, 22, 30, 39, 49, 60, 78 удовлетворяет условию.

в)  Запишем это выражение в виде

$левая круглая скобка a_1 минус a_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_2 минус a_3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_3 минус a_4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_4 минус a_5 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_6 минус a_7 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_7 минус a_8 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_8 минус a_9 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_9 минус a_10 правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка a_1 минус a_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_2 минус a_3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_3 минус a_4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_4 минус a_5 правая круглая скобка минус$
$минус левая круглая скобка a_6 минус a_7 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_7 минус a_8 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_8 минус a_9 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a_9 минус a_10 правая круглая скобка .$

Как уже обсуждалось, эти разности убывают, поэтому $левая круглая скобка a_1 минус a_2 правая круглая скобка$ больше $левая круглая скобка a_6 минус a_7 правая круглая скобка$ минимум на 5. Аналогично с остальными разностями, поэтому минимальное значение не меньше 20. Значение 20 возможно, например, для последовательности 45, 36, 28, 21, 15, 10, 6, 3, 1, 0.

Ответ: а) да; б) да; в) 20.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 267

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь