Дана бесконечная последовательность чисел 
в которой при каждом k член последовательности xk является корнем уравнения 
1. Найдите наибольший порядковый номер k члена последовательности такой, что в десятичной записи числа x используется не более семи цифр.
2. Укажите наименьшее натуральное число N, среди делителей которого содержится ровно 8 членов данной последовательности.
3. Существует ли такое натуральное число n, что сумма n идущих подряд
членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности.
4. Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.
1. Сразу заметим, что уравнение имеет единственный корень 
Следовательно, формула общего члена последовательности имеет вид 
Для ответа на первый вопрос заметим, что 
тогда число 
содержит в десятичной записи более семи цифр. Легко убедитьcя, что условию задачи удовлетворяет число 
то есть 
2. Число будет содержать среди делителей ровно 8 членов данной последовательности в случае, если его делителями являются первые 8 членов последовательности, а девятый уже не является. Следовательно, искомое натуральное число должно делиться на 
Для того, чтобы оно было наименьшим, оно не должно иметь других делителей, то есть это число 6561.
3. Нет. Предположим, что такой набор существует, то есть при некоторых значениях k и m имеет место равенство 
По формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 3 свернем левую часть последнего равенства. Тогда получаем равенство 
или 
Отсюда получаем равенство 
Последнее равенство возможно только при выполнении условий 
и 
(иначе правая часть равна 1, а левая делится на 3), что не удовлетворяет условию задачи.
4. Да, существует. Этому условию удовлетворяет любой набор, содержащий N членов (в том числе и 2012 членов) последовательности, каждый из которых имеет вид 
Тогда любой набор содержит минимальное число, которое при суммировании можно вынести за скобки и получится выражение вида 
которое не является квадратом.