Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Решение 1. Положим, 
где 
поскольку 
Тогда исходное уравнение принимает вид 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. 
на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок 
то есть отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
Решение 2. Положим
где так как 
и рассмотрим функцию 
Ее производная на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2] и, значит, имеет на нем не более одного корня. Этот корень есть тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия 
и 
Таким образом, приходим к системе
Решение 3 (Указание). Построить эскиз графика функции 
на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обосновано получен ответ, отличающийся от верного только исключением и/или включением граничных точек ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу. | 3 |
С помощью верного рассуждения получены искомые промежутки значений  неверные из-за неверной оценки введенной переменной  | 2 |
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой  ИЛИ (при аналитическом решении 1) найдено множество значений функции, но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют ИЛИ (при аналитическом решении 2) установлена монотонность функции, но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Рассмотрим две функции: 
и 
Графиком функции 
лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении a графиком функции 
является прямая с угловым коэффициентом 
проходящая через точку 
и 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент не больше, чем у прямой MA, и пересекает полуокружность в двух точках. При 
прямая, заданная уравнением 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Ответ
и/или включением точки 
или 
имеет более двух корней.
рассмотрим функцию 
Раскрывая модуль, получаем:
функция 
убывает, принимая все значения из промежутка 
Чтобы изучить поведение функции при положительных значениях переменной, найдем производную:
меняя знак с плюса на минус. Следовательно, эта точка является точкой максимума, причем 
Построим эскиз графика функции (см. рис.). Из графика заключаем, что уравнение имеет три корня при 
и 
имеют более двух общих точек на луче 
При a < 1 уравнение не имеет решений. При a = 1 уравнение имеет единственный корень x = 0. При 
уравнение имеет два решения. Пусть m — значение a, которому соответствует точка касания графика функции 
и графика функции 
Тогда при 
уравнение имеет три решения, при 
уравнение имеет два решения, при 
уравнение имеет единственное решение. Найдем m из условия касания:
и 
Исследуем уравнение 
функция 
имеет не более одного решения на промежутке 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
то есть при 
уравнение 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
— уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
— уравнение имеет два корня.
а больший корень 
не превосходит 
если 
то есть при 
поэтому знаки корней 
и 
зависят от знаков выражений 
и 
Значит, при 
оба корня отрицательны, при 
один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при 
оба корня неотрицательны. Следовательно, при 
не имеет корней при 
и 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при 
и 
и 
и уравнение 
имеет два различных отличных от нуля решения, удовлетворяющих условию 
и произведение равно 
значит, его корни a и 
причём 
Найденные корни удовлетворяют условию (*), если
a — любое число;
имеет единственный корень.
поэтому получаем: если a = 0, то t > 0; если 
то 
Поскольку при a = 0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если 
корней нет. Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид:
корней нет. При 
уравнение 
имеет единственный корень 
При 
получаем:
равен
Эти корни равны
и 
поскольку
и 
и/или 
удовлетворяют условию 
имеет ровно 3 решения.
и 
при любых значениях a и ещё один корень 
который не должен совпадать с двумя другими. Значит, 
и 
При этом должно выполняться неравенство 
, но ответ содержит лишнее значение
и рассмотрим два случая.
при выполнении условий 
при условии 
Рассмотрим два случая.
при условии 
тогда 
откуда 
То есть в этом случае 
при 
Получаем 
и 
и 
при 
возможно с учётом принадлежности корня указанному отрезку: 
Рассмотрим два случая.
при условии 
единственный корень 
Условие принимает вид 
при 
принадлежит отрезку 
Первый случай: 
Второй случай: 
из условия 
получаем, что 
Спроецируем на координатную ось xOa функции-решения 
и 
при этом учтем 
уравнение имеет два решения, при 
— одно решение.
и/или 
и 
при 
возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: 
Получаем 
при условии 
условие принимает вид 
откуда 
То есть в этом случае 
(это корень 
);
(это корень 
при 
и 
,
или с учетом принадлежности корней указанному отрезку: 
и 
неограниченно возрастает на области определения. Поэтому уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f(x) не превосходит единицы.
при 
Рассмотрим два случая: 
и 
При 
и ее наименьшее значение равно 
Получаем неравенство 
откуда 
функция f(x) определена на промежутке 
и ее наименьшее значение равно 
Получаем неравенство 
откуда 
Учитывая условие 
получаем 
, возможно, с исключением точки 
.
при одном из условий 
или 
, возможно, с включением граничных точек
; 
; 
или 
, возможно, с включение граничных точек
и 
Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при 
выполнялось неравенство 
а также чтобы были выполнены условия 
и 
Получаем систему неравенств:
множества значений a 
и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии 
равносильно системе 
Эта система имеет единственный корень 
на отрезке [−1; 1] при 
и не имеет корней на этом отрезке при других значениях a.
равносильно уравнению 
Оно имеет единственный корень 
на отрезке [−1; 1] при 
и не имеет корней на этом отрезке при других значениях a.
уравнение 
и 
то исходное уравнение не имеет решений. Действительно, корень первого уравнения совокупности не удовлетворяет ОДЗ второго уравнения совокупности, а само второе уравнение не имеет решений, поскольку при условии 
его левая часть положительна, а правая — отрицательна. 
рассмотрим второе уравнение совокупности. Изобразим на координатной плоскости xOy графики функций 
и 
Первый график — прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через начало координат. Второй график является графиком функции 
сдвинутым вдоль оси абсцисс на a единиц. Из графика видим, что на отрезке [0; 1] уравнение имеет решение 0 при 
и не имеет решений ни при каких иных значениях параметра. Таким образом, при 
уравнение имеет единственное решение.
и 
и рассмотрим два случая.
при выполнении условий
при условии 
и 
совпадают при 
и 
и / или 
но неверно определены промежутки значений a 
или 
возможно, с исключением граничной точки выполнены все решения
и 
Тогда уравнение примет вид
(⁎) 
в системе координат tOb (см. рис. выше). Уравнение (⁎) имеет корни на отрезке 
Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при 
(⁎), тогда исходное уравнение можно записать в виде 
или 
(⁎⁎).
(см. рис.). 
:
или 
один корень при 
и сделаем замену 
где 
Тогда уравнение примет вид
тогда уравнение примет вид 
Функция 
является возрастающей, поэтому полученное уравнение равносильно уравнению 
Тем самым задача свелась к нахождению параметра a, при котором уравнение 
имеет хотя бы один корень 
Следовательно, система имеет решения при 
то есть при 
Пусть 
тогда, чтобы исходное уравнение имело два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы уравнение 
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
то имеем:
График левой части — дуга эллипса, при 
и не имеет решений при 
где 
— значение параметра, при котором график функции 
проходит через точку 
Найдём значение 
то имеем:
С учётом условия 
получаем, что искомое значение параметра 
Тогда уравнение не имеет решений при 
имеет одно решение при 
или 
имеет два решения при 
где 
уравнение (⁎) при 
— три решения, при 
— два решения, при 
— одно решение.
и имеет бесконечно много решений.
выражения 
и 
— имеют смысл при 
При таких значениях a и x имеем 
Значит, в этом случае уравнение 
и 
Тогда функция 
определена при 
непрерывна и строго возрастает на своей области определения. Следовательно, область значений функции 
причём каждое своё значение функция 
и равносильное ему исходное уравнение 
то есть при 
и 
при условии 
Получаем:
Корни уравнения 
и 
совпадают при 
и/или 
но неверно определены промежутки значений a
или 
возможно, с исключением граничных точек
и имеет единственное решение. При a < 0 уравнение 
и при всех таких x выполнены неравенства 
и равносильно на этом промежутке уравнениям 
и 
При 
это уравнение не имеет решений на промежутке 
так как для всех x из этого промежутка выполнены неравенства 
При 
это уравнение имеет единственное решение 
принадлежащее промежутку 
получается из графика 
смещением на 2a вправо (при отрицательных значениях a — влево). График функции 
получается из графика 
смещением на 2 вверх и на 2a влево (при отрицательных значениях a — вправо). Уравнение будет иметь решения тогда и только тогда, когда графики левой и правой частей имеет общие точки. Изобразим граничные случаи.
координаты которой 
находится не ниже графика 
Найдём значения параметра, подставив координаты этой точки в 
:
координаты которой 
находится не выше графика 
Найдём значения параметра, подставив координаты этой точки в 
:
Выделим в левой части полный квадрат:
которое имеет единственное решение a = −1. Следовательно, при a = −1 уравнение имеет решение x = −1.
то a = 0. Получаем уравнение x2 = 0, которое имеет решение x = 0.
и 
равно 
Тогда величина 
выражает расстояние между точкой 
и точкой 
где 
а 
выражает расстояние между точкой 
и точкой 
Заметим, что в силу равенства координат точка T лежит на прямой 
Точка M — ниже прямой 
а точка N — выше этой прямой. 
причём равенство достигается, только если T является точкой пересечения прямой 
корень 
принадлежит отрезку [0; 2] при 
Корень 
корень 
при 
корень 
или 
Тогда 
значит, в этом случае корнями могут быть числа 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
Тогда 
значит, в этом случае корнями уравнения могут быть числа 
и 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
корнями исходного уравнения являются числа 
— 2 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
и 
— 3 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
— 4 корня;
и 
— 2 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
— 3 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
— 2 корня.
a = 0, a > 2.
тогда получим
и 
совпадают и при этом положительны, либо если один из них отрицательный, а второй положительный.
и 
совпадают при a = 0, в этом случае t = 1 и исходное уравнение имеет два корня.
тогда корень 
и 
множества значений a, возможно с включением границ
и 
совпадают при 
Корни 
совпадают при 
Корни 
совпадают при 
не имеет корней;
имеет один корень 
имеет два корня 
имеет два корня 
имеет один корень 
не имеет корней.
имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один отрицательный.
является парабола с вершиной в точке 
проходящая через точки 
и 
Условию 
удовлетворяют все точки, лежащие левее прямой 
включая саму прямую, условию 
удовлетворяют все точки лежащие правее прямой 
включая саму прямую. Таким образом, графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения, является парабола 
уравнение не имеет корней;
уравнение имеет единственный корень 
что удовлетворяет условию задачи;
уравнение имеет два отрицательных корня;
уравнение имеет один отрицательный корень, что удовлетворяет условию задачи; 
уравнение имеет два отрицательных корня;
уравнение имеет два корня, ровно один из которых отрицательный, что удовлетворяет условию задачи.
при 
и/или 
возможно, с выключением граничных точек или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
относительно точек при 
и 
возможно с выключением граничных точек 
Рассмотрим векторы 
— угол между ними. Найдём длины этих векторов:
Значение 
может достигаться тогда и только тогда, когда 
то есть в случае, когда векторы 
и 
сонаправлены. Если соответствующие значения х существуют, то 
Следовательно, векторы 
то есть при одновременном выполнении условий:
:
убеждаемся, что они являются его решениями. Таким образом, при наибольшем возможном значении параметра а исходное уравнение имеет корни 
и 
уравнение имеет единственное решение 
при прочих а решений нет.
и 
При неотрицательных значениях x неравенству 
удовлетворяют точки лежащие одновременно не ниже прямой 
и не выше прямой 
Решение полученной системы на отрезке [0; 1] выделено оранжевым цветом. Абсциссы точек A и B пересечения прямых найдём из уравнений: 
не имеет корней;
имеет один корень;
имеет два корня;
имеет один корень;
не имеет корней.
при условии 
Решим уравнение 
или 
имеем 
При 
имеем 
При остальных значениях a числа 0, 
различны. 
при всех значениях a. 
получаем: 
При 
получаем: 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при 
до точек 
и 
равно 
Поскольку расстояние между точками 
это означает, что точка 
Условию (⁎) удовлетворяет только одна точка этого отрезка — точка 
принадлежащая также и прямой 
и отрезка AB прямой 
(выделено оранжевым). Анализируя построенный график получаем, что уравнение имеет не менее двух решений на отрезке [1,5; 2,5] (полоса, ограниченная прямыми 
и 
выделена зеленым) при 
и при 
где a1 и a2 соответственно — ординаты точек
и при 
где 
и 
График второй системы — лежащая не ниже прямой 
дуга CFD окружности с центром в точке 
и радиусом 
и 
где 
aF — ординаты соответствующих точек. Тогда 
:
Найдём ординату точки E — одной из точек пересечения прямой 
и окружности 
и 
если 
или 
и корень 
если 
или 
и 
совпадают при 
и 
(выделено оранжевым). Уравнения задают прямые, при этом решением системы являются только лучи лучи этих прямых, лежащие в соответствующих вертикальных углах (выделено синим). Отрезок [0; 8] задает вертикальную полосу (выделено зелёным). 
и 
:
проходит через точки 
и 
а прямая 
и 
и при 
уравнение равносильно следующим: 
Рассмотрим условия совпадения корней. При 
уравнение имеет не более двух различных корней. При остальных значениях a числа 0, −2, a различны. При 
Это выражение неотрицательно при 
При 
получаем 
Это выражение неотрицательно при 
При 
получаем 
Это выражение неотрицательно при 
или 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при 
и при 
