Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Решение.
Спрятать критерииИсходное уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 
Получаем 
при 
Второй случай: 
при условии 
Получаем:
Для корня 
условие принимает вид 
откуда 
То есть в этом случае при
Корень уравнения принадлежит отрезку [0; 1] при 
Корни уравнения и совпадают при 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]
— при 
(это корень );
— при 
(это корень 
);
— при 
(это корень ).
Ответ: 
при 
и 
,
или с учетом принадлежности корней указанному отрезку: 
и 
Источники:
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев
После разложения на сомножители надо учитывать, что х больше или равен 1/2. Это отразится на ответе.
В решении учтено всё, что необходимо.
Не учтено исходное ОДЗ, при котором х должен быть не меньше 0,5, при его несоблюдении правая часть уравнения не имеет смысл, следовательно из второго условия ОДЗ (х≥a) условие накладывается и на параметр а в случае первого случая, когда х=а,
Кроме того, во втором случае условием выполнения ОДЗ является значение х, большее или равное "а", а значит параметр "а" должен быть меньше полкченного корня, что и есть у вас в решении, а при объединении решений это не учтено.
Получается, что значение параметра может быть: (- оо; 2-(2)^½)u[0,5;1]
Такого исходного ОДЗ нет.
В решении учтено всё, что необходимо.
В конце решения уточнили, при каких значениях параметра какой корень является тем единственным, который принадлежит отрезку [0; 1]
Здравствуйте, присоединяюсь ко всем писавшим ранее. Проверьте, пожалуйста ОДЗ у корня в правой части уравнения
Проверили.
Решение верное