Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Заметим, что функция 
неограниченно возрастает на области определения. Поэтому уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f(x) не превосходит единицы.
Заметим, что 
при 
Рассмотрим два случая: 
и 
При функция f(x) определена на промежутке 
и ее наименьшее значение равно 
Получаем неравенство 
откуда 
При 
функция f(x) определена на промежутке 
и ее наименьшее значение равно 
Получаем неравенство 
откуда 
Учитывая условие 
получаем 
Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при 
Ответ: 
Приведем решение Василия Полинова (Москва).
Разность 
обращается в нуль при 
При таком значении параметра уравнение принимает вид 
и имеет единственное решение. При 
разность корней отлична от нуля, а потому можно умножить на нее обе части исходного уравнения, перейдя к равносильному уравнению
Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде равносильной системы:
Складывая и вычитая уравнения системы, получаем равносильную ей систему:
В силу возрастания левых частей уравнений (1) и (2) каждое из этих уравнений имеет единственное решение для любых неотрицательных значений их правых частей, то есть соответственно при 
и при 
Ясно, что при 
после возведения в квадрат корни уравнений (1) и (2) будут принадлежать ОДЗ, совпадут и дадут единственное решение исходного уравнения. При прочих значениях параметра исходное уравнение корней не имеет.
или 
, возможно, с исключением точки 
.
при одном из условий 
или 
, возможно, с включением граничных точек
; 
; 
или 
, возможно, с включение граничных точек