Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 628919
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 4x плюс 4a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =0

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 2].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ло­га­рифм об­ра­ща­ет­ся в нуль, если его ар­гу­мент равен еди­ни­це. Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние:

x в квад­ра­те минус 4x плюс 4a минус a в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сле­до­ва­тель­но, под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние об­ра­ща­ет­ся в нуль при x=a или при x=4 минус a.

Про­из­ве­де­ние равно нулю, если какой-то из мно­жи­те­лей равен нулю, а осталь­ные при этом су­ще­ству­ют. По­лу­ча­ем:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 4x плюс 4a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x минус 1=1, левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =0,2x минус 1 боль­ше 0. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x=1, левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x=a,2a минус 1 боль­ше 0. конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x=4 минус a,2 левая круг­лая скоб­ка 4 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 боль­ше 0, конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x=1,1 мень­ше или равно a мень­ше или равно 3 , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x=a,a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x=4 минус a,a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Ко­рень x=a при­над­ле­жит от­рез­ку [0; 2] при дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше или равно 2, ко­рень x=4 минус a при­над­ле­жит от­рез­ку [0; 2] при 2 мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Ко­рень x=1 сов­па­да­ет с кор­нем x=a при a=1, ко­рень x=1 сов­па­да­ет с кор­нем x=4 минус a при a=3, ко­рень x=a сов­па­да­ет с кор­нем x=4 минус a при a=2.

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 2] при дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше или равно 1 или 3 мень­ше или равно a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 391
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026