ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 517481 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 2x минус a конец аргумента =x$

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Спрятать решение

Решение.

Исходное уравнение равносильно уравнению $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс корень из: начало аргумента: 2x минус a конец аргумента правая круглая скобка =0.$ Рассмотрим два случая.

Первый случай: $x минус 1=0$ при условии $2x больше или равно a,$ тогда $x=1.$

Условие принимает вид $2 больше или равно a,$ откуда $a\leqslant2.$ То есть в этом случае $x=1$ при $a\leqslant2.$

Второй случай: $x плюс корень из: начало аргумента: 2x минус a конец аргумента =0.$ Получаем $x= минус корень из: начало аргумента: 2x минус a конец аргумента \leqslant0;x\leqslant0.$

Значит, это уравнение может имеет корень на отрезке [0; 1], только если $x=0$ при $a=0.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при $a меньше 0$ и $0 меньше a\leqslant2.$

Ответ: $a меньше 0;0 меньше a\leqslant2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = 0	3
В решении верно найдены корни $x=1$ при $a\le2$ и $x=1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус a конец аргумента$ при $a\le0,$ возможно с учётом принадлежности корня указанному отрезку: $x=0$ при $a=0$ ИЛИ верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений а из-за вычислительной ошибки	2
В решении верно найден один из корней $x=1$ при $a\le2$ или $x=1 минус корень из: начало аргумента: 1 минус a конец аргумента$ при $a\le0,$ возможно с учётом принадлежности корня указанному отрезку: $x=0$ при $a=0$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Аналоги к заданию № 517481: 517488 656590 Все

Источники:

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 431 (часть 2).

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Перебор случаев, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Никита Добрынин 23.05.2018 23:15

Здравствуйте. Ответ должен быть а<0 или 1<а.

Для проверки можно взять а=0,5. Тогда совокупность уравнений будет иметь три различных корня. Тут нужно применить метод параметрической плоскости. Опуская все преобразования получим параболу с вершиной в точке х=1 у=1 которая определена при х от 0 до 1 включительно. Считывающая прямая должна только раз пересекать график совокупности уравнений а это возможно только при а указанных вначале.

Заранее спасибо за Ваш ответ.

Александр Иванов

Если бы Вы аккуратно выполнили все преобразования, то от параболы остался бы только кусок при $x\le0$