ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 530068 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4ax конец аргумента$

имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4ax конец аргумента равносильно система выражений x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате =x в степени 4 минус 4ax,x в степени 4 минус 4ax\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс 4ax минус 5a в квадрате =0,x левая круглая скобка x в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 5a,x=a, конец системы . x левая круглая скобка x в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0. конец совокупности .$ $корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 4ax конец аргумента равносильно$
$равносильно система выражений x в степени 4 плюс x в квадрате минус 5a в квадрате =x в степени 4 минус 4ax,x в степени 4 минус 4ax\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс 4ax минус 5a в квадрате =0,x левая круглая скобка x в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 5a,x=a, конец системы . x левая круглая скобка x в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0. конец совокупности .$

Выясним, при каких значениях a корнем исходного уравнения является $x= минус 5a$ :

$минус 5a левая круглая скобка левая круглая скобка минус 5a правая круглая скобка в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 равносильно 5a в квадрате левая круглая скобка 125a в квадрате плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0$   — верно при любых a.

Значит, $x= минус 5a$ является корнем уравнения при любых значениях a.

Выясним, при каких значениях a корнем исходного уравнения является $x=a$ :

$a левая круглая скобка a в кубе минус 4a правая круглая скобка \geqslant0 равносильно a в квадрате левая круглая скобка a в квадрате минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений a\leqslant минус 2,a=0 ,a\geqslant2. конец совокупности .$

Выясним, при каких значениях a корни $x= минус 5a$ и $x=a$ совпадают:

$минус 5a=a равносильно 6a=0 равносильно a=0.$

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня при $a\leqslant минус 2$ или $a\geqslant2;$ один корень при $минус 2 меньше a меньше 2.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь