Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 628139
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 4ax плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 4ax плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2a конец ар­гу­мен­та =2 минус |x плюс 2a|.

По­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей по­лу­чен­но­го урав­не­ния. Гра­фик функ­ции y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2a конец ар­гу­мен­та по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та сме­ще­ни­ем на 2a впра­во (при от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях a  — влево). Гра­фик функ­ции y=2 минус |x плюс 2a| по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка y= минус |x| сме­ще­ни­ем на 2 вверх и на 2a влево (при от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях a  — впра­во). Урав­не­ние будет иметь ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей имеет общие точки. Изоб­ра­зим гра­нич­ные слу­чаи.

При от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a, ре­ше­ния будут, если вер­ши­на гра­фи­ка y=2 минус |x плюс 2a|, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рой левая круг­лая скоб­ка минус 2a; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , на­хо­дит­ся не ниже гра­фи­ка y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2a конец ар­гу­мен­та . Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра, под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты этой точки в y боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2a конец ар­гу­мен­та :

2 боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус 2a минус 2a конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 4 боль­ше или равно минус 4a боль­ше или равно 0 \underseta мень­ше 0\mathop рав­но­силь­но минус 1 мень­ше или равно a мень­ше 0

При не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a, ре­ше­ния будут, если вер­ши­на гра­фи­ка y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2a конец ар­гу­мен­та , ко­ор­ди­на­ты ко­то­рой левая круг­лая скоб­ка 2a; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , на­хо­дит­ся не выше гра­фи­ка y=2 минус |x плюс 2a|. Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра, под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты этой точки в y мень­ше или равно 2 минус |x плюс 2a|:

0 мень­ше или равно 2 минус |2a плюс 2a| рав­но­силь­но |4a| мень­ше или равно 2 \underseta боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние при минус 1 мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 388
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Ко­ор­ди­на­ты (x, a), Левая и пра­вая части в ка­че­стве от­дель­ных гра­фи­ков
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026