Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 517518

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

 корень из x минус a умножить на синус x= корень из x минус a умножить на косинус x

имеет ровно один корень на отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Исходное уравнение равносильно уравнению  корень из x минус a умножить на левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0. Рассмотрим два случая.

Первый случай:  корень из x минус a=0 равносильно x=a.

Второй случай:  синус x минус косинус x=0 при условии x больше или равно a.

Это уравнение имеет на отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка единственный корень x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Условие принимает вид  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше или равно a.

То есть в этом случае x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби при a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Корень уравнения x=a принадлежит отрезку  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка при 0 меньше или равно a меньше или равно Пи .

Корни уравнения x=a и x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби совпадают при a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка при a меньше 0 и  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .

 

Ответ: a меньше 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше или равно Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек a=0,\ a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и/или a= Пи 3
В решении верно найдены корни x=a при a принадлежит R и x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n при a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: x=a при 0 меньше или равно a меньше или равно Пи , x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби при a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби

ИЛИ

верно пройдены все этапы решения, но неверно найдены граничные точки множества значений а из-за вычислительной ошибки

2
В решении верно найден один из корней x=a при a принадлежит R или x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n при a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: x=a при 0 меньше или равно a меньше или равно Пи , x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби при a меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 419 (C часть).
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Татьяна Брезгина 27.02.2018 17:23

А как же промежуток а [0; p/4)? В нём будет единственное решение а=х, а соsx=sinx не будет иметь корней => 1 решение

Александр Иванов

при 0 меньше или равно a меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби два корня: x=a и x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби

Илья Поздняков 24.03.2018 11:58

Вы забыли условие, что cosx не равен нулю. Когда мы решаем уравнение cosx=sinx, мы на него делим, значит он не должен равняться нулю. Таким образом, из ответа должна быть исключена точка пи/2. Если вы её подставите в исходное уравнение, то оно будет иметь два корня, что противоречит условию.

Александр Иванов

1. Решение верное.

2. Никаких ограничений на  косинус x в условии нет.

3. Для того, чтобы решить уравнение  косинус x= синус x не обязательно делить на  косинус x.

4. Если подставить значение a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби и решить уравнение, то получится единственное решение x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби

Андрей Перевеев 15.04.2018 15:08

Решение в корне не верно. X=pi/4 решение всегда, следовательно корень не должен давать решений от 0 до pi вовсе, значит все а до pi не подходят нам. Если подставлять в а числа, которые автор возомнил ответом, вы получите уравнения с двумя решениями на данном отрезке, что в принципе противоречит условию задачи.

Александр Иванов

1. Решение верное.

2. x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби не является корнем "всегда". При a больше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби число x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби не является корнем.