Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке 
Исходное уравнение равносильно уравнению 
Рассмотрим два случая.
Первый случай: 
Второй случай: 
при условии 
Это уравнение имеет на отрезке 
единственный корень 
Условие принимает вид 
То есть в этом случае 
при 
Корень уравнения 
принадлежит отрезку при 
Корни уравнения и совпадают при 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при 
и 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Имеем:
ОДЗ уравнения задается неравенством 
Первый случай: 
Второй случай: 
из условия 
получаем, что 
Спроецируем на координатную ось xOa функции-решения 
и 
при этом учтем и 
Видим, что при графики функций имеют одну общую точку, следовательно, уравнение имеет одно решение, при 
уравнение имеет два решения, при 
— одно решение.
Ответ:
и/или 
и 
при 
возможно, с учётом принадлежности корней указанному отрезку: 
А как же промежуток а [0; p/4)? В нём будет единственное решение а=х, а соsx=sinx не будет иметь корней => 1 решение
при
два корня: 
и 
Вы забыли условие, что cosx не равен нулю. Когда мы решаем уравнение cosx=sinx, мы на него делим, значит он не должен равняться нулю. Таким образом, из ответа должна быть исключена точка пи/2. Если вы её подставите в исходное уравнение, то оно будет иметь два корня, что противоречит условию.
1. Решение верное.
2. Никаких ограничений на
в условии нет.
3. Для того, чтобы решить уравнение
не обязательно делить на 
.
4. Если подставить значение
и решить уравнение, то получится единственное решение 
Решение в корне не верно. X=pi/4 решение всегда, следовательно корень не должен давать решений от 0 до pi вовсе, значит все а до pi не подходят нам. Если подставлять в а числа, которые автор возомнил ответом, вы получите уравнения с двумя решениями на данном отрезке, что в принципе противоречит условию задачи.
1. Решение верное.
2.
не является корнем "всегда". При 
число 
не является корнем.