ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 688756 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 9 x в степени 4 плюс 4 x в квадрате левая круглая скобка 5 x плюс 2 правая круглая скобка минус a левая круглая скобка 2 x в квадрате минус a правая круглая скобка конец аргумента =3 x в квадрате плюс 4 x минус a$

имеет ровно три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

При условии $3 x в квадрате плюс 4 x минус a больше или равно 0$ уравнение равносильно следующим:

$9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 4 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 9 x в степени 4 плюс 16 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 24 x в кубе минус 6 a x в квадрате минус 8 a x равносильно 4 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 4 a x в квадрате минус 8 a x = 0 равносильно$
$равносильно x в кубе плюс 2 x в квадрате минус a x в квадрате минус 2 a x=0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 2, x = a. конец совокупности .$ $9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 4 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 9 x в степени 4 плюс 16 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 24 x в кубе минус 6 a x в квадрате минус 8 a x равносильно$
$равносильно 4 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 4 a x в квадрате минус 8 a x = 0 равносильно x в кубе плюс 2 x в квадрате минус a x в квадрате минус 2 a x=0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 2, x = a. конец совокупности .$ $9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 4 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 9 x в степени 4 плюс 16 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 24 x в кубе минус 6 a x в квадрате минус 8 a x равносильно$
$равносильно 4 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 4 a x в квадрате минус 8 a x = 0 равносильно$
$равносильно x в кубе плюс 2 x в квадрате минус a x в квадрате минус 2 a x=0 равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 2, x = a. конец совокупности .$ $9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 4 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 9 x в степени 4 плюс 16 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 24 x в кубе минус 6 a x в квадрате минус 8 a x равносильно$
$равносильно 4 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 4 a x в квадрате минус 8 a x = 0 равносильно x в кубе плюс 2 x в квадрате минус a x в квадрате минус 2 a x=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 2, x = a. конец совокупности .$ $9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка 3 x в квадрате плюс 4 x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 9 x в степени 4 плюс 20 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 2 a x в квадрате плюс a в квадрате = 9 x в степени 4 плюс 16 x в квадрате плюс a в квадрате плюс 24 x в кубе минус 6 a x в квадрате минус 8 a x равносильно$
$равносильно 4 x в кубе плюс 8 x в квадрате минус 4 a x в квадрате минус 8 a x = 0 равносильно$
$равносильно x в кубе плюс 2 x в квадрате минус a x в квадрате минус 2 a x=0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x=0, x= минус 2, x = a. конец совокупности .$

Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие $3 x в квадрате плюс 4 x минус a больше или равно 0.$ Рассмотрим условия совпадения корней. При $a = 0$ и $a = минус 2$ уравнение имеет не более двух различных корней. При остальных значениях a числа 0, −2, a различны. При $x = 0$ получаем $3 x в квадрате плюс 4 x минус a = минус a.$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или равно 0.$ При $x = минус 2$ получаем $3 x в квадрате плюс 4 x минус a = 4 минус a.$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или равно 4.$ При $x = a$ получаем $3 x в квадрате плюс 4 x минус a = 3 a в квадрате плюс 3 a.$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или равно минус 1$ или $a больше или равно 0.$ Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при $a меньше минус 2$ и при $минус 2 меньше a \leqslant минус 1.$

Ответ: $a меньше минус 2,$ $минус 2 меньше a \leqslant минус 1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 688756: 688785 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь