а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S точка M се­ре­ди­на SC, точка N делит ребро SB в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, E, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до этой плос­ко­сти, если AB  =  2, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на де­сять лет в раз­ме­ре 1500 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо опла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг дол­жен быть на какую-⁠то одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2035 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та будет равна 2300 тысяч руб­лей. Сколь­ко руб­лей со­ста­вит долг в июле 2030 года?

На сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки D и E со­от­вет­ствен­но так, что точка I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, E, I и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Точка сим­мет­рич­на точке D от­но­си­тель­но пря­мой AI. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка если а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС равен

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень, и ука­жи­те корни этого урав­не­ния для та­ко­го зна­че­ния a.

В клас­се боль­ше 10, но не боль­ше 26 уча­щих­ся, а доля де­во­чек не пре­вы­ша­ет 46%.

а)  Может ли в этом клас­се быть 9 де­во­чек?

б)  Может ли доля де­во­чек со­ста­вить 55%, если в этот класс придёт новая де­воч­ка?

в)  В этот класс при­ш­ла новая де­воч­ка. Доля де­во­чек в клас­се со­ста­ви­ла целое число про­цен­тов. Какое наи­боль­шее число про­цен­тов может со­ста­вить доля де­во­чек в клас­се?