ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 514451 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 4 конец аргумента минус x в квадрате плюс a в квадрате правая круглая скобка =x в квадрате плюс x минус a$

имеет ровно три различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус x в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс x минус a равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус a \geqslant0,x в степени 4 минус x в квадрате плюс a в квадрате =x в степени 4 плюс x в квадрате плюс a в квадрате плюс 2x в кубе минус 2ax в квадрате минус 2ax конец системы . равносильно$ $корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус x в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента =x в квадрате плюс x минус a равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус a \geqslant0,x в степени 4 минус x в квадрате плюс a в квадрате =x в степени 4 плюс x в квадрате плюс a в квадрате плюс 2x в кубе минус 2ax в квадрате минус 2ax конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений a меньше или равно x в квадрате плюс x,x в кубе плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка x в квадрате минус ax=0 конец системы . равносильно система выражений a меньше или равно x в квадрате плюс x, совокупность выражений x=0,x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка x минус a=0 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x=0,a\leqslant0, конец системы . система выражений a меньше или равно x в квадрате плюс x, левая круглая скобка * правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка x минус a=0. левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец системы конец совокупности .$

Уравнение имеет три решения тогда и только тогда, когда $x=0,$ $a\leqslant0$ и уравнение $левая круглая скобка ** правая круглая скобка$ имеет два различных отличных от нуля решения, удовлетворяющих условию $левая круглая скобка * правая круглая скобка .$

Заметим, что сумма корней уравнения $левая круглая скобка ** правая круглая скобка$ равна $a минус 1,$ и произведение равно $минус a,$ значит, его корни a и $минус 1,$ причём $a не равно минус 1.$ Найденные корни удовлетворяют условию (*), если

1)   $a меньше или равно a в квадрате плюс a равносильно a в квадрате больше или равно 0,$ a  — любое число;

2)   $a\leqslant левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно a\leqslant0;$

3)   $a не равно 0.$

Итак, $a меньше 0,$ $a не равно минус 1.$

Ответ: $a меньше 0,$ $a не равно минус 1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра, не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки.	3
Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0