ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 630131 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$a в квадрате минус 4x в квадрате плюс 8|x| минус 4=0$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x больше или равно 0.$ Тогда $a в квадрате =4 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате \mathop равносильно a= \pm 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка ,$ значит, в этом случае корнями могут быть числа $x_1= дробь: числитель: a плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби , x_2= дробь: числитель: 2 минус a, знаменатель: 2 конец дроби .$

$x_1 больше или равно 0$ при $a больше или равно минус 2,$ $x_2 больше или равно 0$ при $a меньше или равно 2.$ Отдельно отметим, когда корни совпадают: $x_1=x_2=1$ при $a=0.$

Пусть теперь $x меньше 0.$ Тогда $a в квадрате =4 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате \mathop равносильно a= \pm 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ,$ значит, в этом случае корнями уравнения могут быть числа $x_3= дробь: числитель: a минус 2, знаменатель: 2 конец дроби$ и $x_4= дробь: числитель: минус 2 минус a, знаменатель: 2 конец дроби .$

$x_3 меньше 0$ при $a меньше 2,$ $x_4 меньше 0$ при $a больше минус 2.$ Отдельно отметим, когда корни совпадают: $x_3=x_4= минус 1$ при $a=0.$

Теперь подведем итоги:

—  при $a меньше минус 2$ корнями исходного уравнения являются числа $x_2$ и $x_3$   — 2 корня;

—  при $a= минус 2$ корнями исходного уравнения являются числа $x_1, x_2$ и $x_3$   — 3 корня;

—  при $минус 2 меньше a меньше 0$ корнями исходного уравнения являются числа $x_1, x_2, x_3, x_4$   — 4 корня;

—  при $a=0$ корнями исходного уравнения являются числа $x_1=x_2$ и $x_3=x_4$   — 2 корня;

—  при $0 меньше a меньше 2$ корнями исходного уравнения являются числа $x_1, x_2, x_3, x_4$   — 4 корня;

—  при $a=2$ корнями исходного уравнения являются числа $x_1, x_2, x_4$   — 3 корня;

—— при $a больше 2$ корнями исходного уравнения являются числа $x_1$ и $x_4$   — 2 корня.

Таким образом, получаем $a меньше минус 2,$ a  =  0, a > 2.

Ответ: $a меньше минус 2,$ a  =  0, a > 2.

Приведем решение Натальи Захаровой.

Пусть $t=|x|,$ тогда получим

$a в квадрате минус 4t в квадрате плюс 8t минус 4=0 равносильно t=1 \pm дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$

Исходное уравнение имеет два корня, если корни $t_1$ и $t_2$ совпадают и при этом положительны, либо если один из них отрицательный, а второй положительный.

Корни $1 плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ и $1 минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ совпадают при a  =  0, в этом случае t  =  1 и исходное уравнение имеет два корня.

Корень $1 минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ отрицателен при $a больше 2,$ тогда корень $1 плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ положителен, и исходное уравнение имеет два корня.

Корень $1 плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ отрицателен при $a меньше минус 2,$ тогда корень $1 минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$ положителен, и исходное уравнение также имеет два корня.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек $a= минус 2$ и / или $a=2$	3
С помощью верного рассуждения получены промежутки $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$ множества значений a, возможно с включением границ ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Аналоги к заданию № 630131: 630167 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 401;

Задания 17 ЕГЭ–2022;

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 403;

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 406.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь