РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Последовательности и прогрессии

a₁, a₂, a₃, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что $a_a_k=3k$ для любого $k.$ Найти:

а)  a₁₀₀;

б)  a₁₉₈₃.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006 , но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более, чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Дана бесконечная последовательность чисел $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_k,\ldots левая круглая скобка k принадлежит N правая круглая скобка ,$ в которой при каждом k член последовательности x_k является корнем уравнения $x в квадрате минус 2 умножить на 3 в степени k умножить на x плюс 9 в степени k =0.$

1.  Найдите наибольший порядковый номер k члена последовательности такой, что в десятичной записи числа x используется не более семи цифр.

2.  Укажите наименьшее натуральное число N, среди делителей которого содержится ровно 8 членов данной последовательности.

3.  Существует ли такое натуральное число n, что сумма n идущих подряд

членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности.

4.  Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.

Решение. 1.  Сразу заметим, что уравнение имеет единственный корень $x=3 в степени k .$ Следовательно, формула общего члена последовательности имеет вид $x_k=3 в степени k ,k принадлежит N .$

Для ответа на первый вопрос заметим, что $3 в степени 7 =2187,$ тогда число $3 в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка =3 умножить на левая круглая скобка 3 в степени 7 правая круглая скобка в квадрате больше 3 умножить на 4 умножить на 10 в степени 6$ содержит в десятичной записи более семи цифр. Легко убедитьcя, что условию задачи удовлетворяет число $3 в степени левая круглая скобка 14 правая круглая скобка =4782969,$ то есть $k=14.$

2.  Число будет содержать среди делителей ровно 8 членов данной последовательности в случае, если его делителями являются первые 8 членов последовательности, а девятый уже не является. Следовательно, искомое натуральное число должно делиться на $3 в степени 8 =6561.$ Для того, чтобы оно было наименьшим, оно не должно иметь других делителей, то есть это число 6561.

3.  Нет. Предположим, что такой набор существует, то есть при некоторых значениях k и m имеет место равенство $3 в степени k плюс 3 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс 3 в степени левая круглая скобка k плюс n минус 1 правая круглая скобка =3 в степени m .$

По формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 3 свернем левую часть последнего равенства. Тогда получаем равенство $3 в степени k умножить на дробь: числитель: 3 в степени n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби =3 в степени m$ или $3 в степени n минус 1=2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка .$ Отсюда получаем равенство $3 в степени n минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка =1.$ Последнее равенство возможно только при выполнении условий $n=1$ и $m=k$ (иначе правая часть равна 1, а левая делится на 3), что не удовлетворяет условию задачи.

4.  Да, существует. Этому условию удовлетворяет любой набор, содержащий N членов (в том числе и 2012 членов) последовательности, каждый из которых имеет вид $3 в степени левая круглая скобка 2k плюс 1 правая круглая скобка .$ Тогда любой набор содержит минимальное число, которое при суммировании можно вынести за скобки и получится выражение вида $3 в степени левая круглая скобка 2m плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени левая круглая скобка 2a правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2b правая круглая скобка плюс умножить на s правая круглая скобка ,$ которое не является квадратом.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

В бесконечной последовательности a₁, a₂, a₃, ... число a₁ равно 1, а каждое следующее число a_n строится из предыдущего a_n – 1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то a_n = a_{n – 1} + 1, если же остаток равен 3, то a_n = a_n – 1 – 1. Докажите, что в этой

последовательности

а)  число 1 встречается бесконечно много раз;

б)  каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.

(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения

конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите:

а)  наименьшее такое число,

б)  все такие числа.

Решение. 1)  Пусть через t минут на ленте лежат деталей типа A и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ деталей типа $B .$ Так как $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ имеют разную четность, то может принимать только значения 1, 3, 5. Так как каждую минуту добавляется деталь того типа, которого на ленте меньше, а убирается произвольная деталь, то $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ либо не изменяется, либо уменьшается. Так как по условию исходное расположение повторяется через n минут (а значит, и через $2n ,$ $3n$ и т. д.), то получаем, что величина $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ не изменяется при всех $t .$

2)  Допустим, что $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |\geqslant3.$ Так как $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ не изменяется, а $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ могут меняться только на 1, то $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ также не изменяются. Тогда добавляется всегда деталь одного и того же типа и при этом деталь того же типа всегда снимается. Это означает, что исходно на ленте все детали одного типа и деталь того же типа добавляется. Это противоречит правилу подготовки следующей детали. Следовательно, $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |=1$ при всех $t.$

3)  Пусть $a_1,a_2,...,a_76,a_77$   — типы деталей (A или B), которые стояли исходно на конвейере и добавлялись в последующие моменты. Мы показали, что при любом i среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 78$ 38 раз встречается A и 37 раз встречается B и тогда $a_i плюс 76=B,$ либо все наоборот. В любом случае при каждом i среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 76$ A и B встречаются по 38 раз.

4)  Так как среди $a_i,...,a_i плюс 75$ A и B встречаются по 38 раз и среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 76$ A и B встречаются по 38 раз, то $a_i плюс 76=a_i$ (при каждом i ). Таким образом, 76 – период последовательности $a_1,a_2,...,a_76,....$

5)  Пусть через n минут ситуация на конвейере впервые повторилась. Тогда n  — период последовательности $a_1,a_2,...,a_76,a_77.$ Обратно, если q  — период этой последовательности, то через q минут ситуация на конвейере повторяется. Следовательно, n  — минимальный период последовательности $a_1,a_2, ..., a_76,a_77,....$

6)  Известно (и легко показать), что минимальный период является делителем любого периода. Следовательно, 76 делится на n , то есть период длины n укладывается целое число раз на отрезке последовательности длины 76. Так как на любом отрезке длины 76 детали A и B встречаются одинаковое число раз, то это же верно и для периода длины $n .$ Отсюда следует, что n  — четное число и возможно только $n = 2, 4, 38, 76.$

7)  Пусть $n = 2k$ и 76 делится на $n .$ Построим бесконечную последовательность, в которой сначала k раз стоит A, затем k раз стоит B, и затем все повторяется с периодом $2k .$ Эта последовательность будет порождаться в нашей задаче, если в качестве исходного расположения деталей на конвейере взять первые 75 элементов последовательности, причем впервые исходная ситуация повторится ровно через $2k$ минут. Таким образом, все значения $n = 2 , 4, 38, 76$ могут реализоваться.

Ответ: a) 2; б) 2, 4, 38, 76.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Последовательность задана формулой $a_n = 5b плюс 3n,$ где $n, b принадлежит N .$

а)  Может ли число 15 являться членом последовательности?

б)  Верно ли, что данная последовательность является бесконечной арифметической прогрессией?

в)  Может ли последовательность являться геометрической прогрессией?

г)  Могут ли три подряд идущих члена последовательности являться сторонами прямоугольного треугольника?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Дан прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами.

а)  Могут ли стороны данного треугольника быть членами возрастающей геометрической прогрессии?

б)  Докажите, что для любого натурального n можно найти такие три числа, которые будут являться сторонами этого треугольника и членами арифметической прогрессии с разностью n.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Несколько натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию, начиная с четного числа. Сумма нечетных членов прогрессии равна 33, четных  — 44. Найдите эти числа.

Решение. Пусть прогрессия возрастающая, тогда четных чисел больше, так как их сумма больше. Значит, последний член прогрессии  — четный, и всего их нечетное число. Пусть a  — первый член прогрессии, d  — ее разность, $2n плюс 1$   — количество членов. d  — нечетное число, иначе все члены последовательности были бы четными. Из условия получаем уравнения $дробь: числитель: 2a плюс 2nd, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =44$ и $дробь: числитель: 2 левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на 2d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n=33.$ Вычитая из первого второе получим, что $a плюс nd=11.$ Тогда $n=3.$ Получаем, что $a плюс 3d=11.$ Возможны такие варианты: $a=2,d=3$ и $a=8,d=1.$

Таким образом, получаются прогрессии: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 и 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Ясно, что годятся и прогрессии, составленные из тех же чисел в обратном порядке. Пусть теперь прогрессия убывающая. Если последний ее член четный – то это уже разобранный выше случай. Если же последний член нечетный, то пусть их всего $2n.$ Из условия получаем уравнения: $дробь: числитель: 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на 2d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n=44$ и $дробь: числитель: 2 левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на 2d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n=33.$ Вычитая из первого второе, получаем равенство: $nd= минус 11.$ Если $d= минус 11,$ то прогрессия состоит из двух членов: 44, 33, если $d= минус 1,$ то $n=11,$ $a=14,$ но тогда не все члены прогрессии натуральные (прогрессия получается такая: 14, 13, 12,..., −6, −7).

Таким образом, получаем ответ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 или 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 или 44, 33.

Ответ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 или 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 или 44, 33.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Дана бесконечная последовательность чисел, в которой первый член равен 1, а каждый последующий в два раза меньше предыдущего.

а)  Можно ли из данной последовательности выделить бесконечную геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби ?$

б)  Можно ли из данной последовательности выделить бесконечную геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ?$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

10.  

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, … выбрать (сохраняя порядок)

а)  сто чисел,

б)  бесконечную последовательность чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих $левая круглая скобка a_k=a_k минус 2 минус a_k минус 1 правая круглая скобка ?$

Решение. а)  Построим подпоследовательность следующим образом: рассмотрим сто первых различных чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, … Если записать их в обратном порядке, то для них верно требуемое в условии равенство. Теперь разделим каждое из них на наименьшее общее кратное всех ста чисел. Тогда получатся члены данной последовательности (ясно, что после сокращения числители дробей будут равны единице), удовлетворяющие нужному условию.

б)  Рассмотрим равенство: $дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби ,$ где $a,b,c$ – натуральные. Разложим $a,b,c$ на простые множители и рассмотрим один из множителей $p.$ Пусть $a=p в степени n умножить на s,b=p в степени k умножить на t,$ где s и t не делятся на $p.$ Тогда $дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: p в степени n умножить на s конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: p в степени k умножить на t конец дроби = дробь: числитель: q, знаменатель: p в степени m st конец дроби ,$ где q  — некоторое натуральное число, а m  — бо́льшее из чисел n и $k.$ Тогда ясно, что в разложение числа c на простые множители число p входит в степени не большей, чем степень этого множителя в разложениях a и $b.$ Пусть $дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби$   — первые два числа подпоследовательности, которую мы строим. Разложим $a,b$ на простые множители Тогда в последующих знаменателях будут содержаться только те простые множители, которые есть в a и b и в степенях, не бо́льших, чем в a и $b.$ Таким образом, мы сможем построить лишь конечное число членов подпоследовательности.

Ответ: а) да; б) нет.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

11.  

В возрастающей арифметической прогрессии $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ сумма цифр членов тоже образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Может ли в прогрессии $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ быть:

а)  11 членов;

б)  бесконечное число членов?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

12.  

В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, …. Под каждым числом этого ряда записана сумма его цифр.

а)  На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?

б)  Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

13.  

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n > 3).

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

14.  

Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел.

а)  Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел?

б)  Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел?

в)  Найдите наименьшее число n, при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

15.  

Числовая последовательность задана формулой общего члена: $a_n меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: n в квадрате плюс n конец дроби .$

а)  Найдите наименьшее значение n, при котором $a_n меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2017 конец дроби .$

б)  Найдите наименьшее значение n, при котором сумма n первых членов этой последовательности будет больше, чем 0,99.

в)  Существуют ли в данной последовательности члены, которые образуют арифметическую прогрессию?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

16.  

Даны n(n $\geqslant$ 3) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую

прогрессию.

а)  Может ли сумма всех данных чисел равняться 22?

б)  Может ли сумма всех данных чисел равняться 23?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 48.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

17.  

Бесконечная геометрическая прогрессия b₁, b₂,...,b_n,... состоит из различных натуральных чисел. Пусть

Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ +...+ b_n при всех натуральных $n больше или равно 2.$

а)  Приведите пример такой прогрессии, для которой среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ровно два числа делятся на 24.

б)  Существует ли такая прогрессия, для которой среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ровно три числа делятся на 24.

в)  Какое наибольшее количество чисел среди S₁, S₂,..., S₈ может делиться на 24, если известно, что S₁ на 24 не делится?

Решение. а)  например $12,36,108,324.$ Только $S_2$ и $S_4$ кратны 24.

б)  Поскольку прогрессия бесконечная, то ее знаменатель  — натуральное число. Если первый член прогрессии кратен $24,$ то и все остальные тоже, поэтому и все суммы кратны 24. Допустим теперь, что b не кратно $24,$ но $b плюс bq,$ $b плюс bq плюс bq в квадрате$ кратны. Тогда $bq в квадрате$ кратно $24.$ При этом bq не кратно $24,$ иначе $b плюс bq$ не могло бы быть ему кратно. Значит, q четно. Тогда и b четно (ведь $b плюс bq$ четно). Тогда bq кратно 4 (произведение двух четных чисел), а тогда и b кратно 4 (ведь $b плюс bq$ кратно 4). Но тогда ситуация $bq в квадрате$ кратно $24,$ bq не кратно $24$ невозможна - оба числа кратны $8$ и либо оба кратны трем, либо оба не кратны трем.

в)  Продолжая прогрессию из п. а), получим пример для четырех чисел. Попробуем доказать, что больше сделать нельзя. Допустим, таких сумм минимум пять. Тогда среди них есть две с соседними номерами, Значит, их разность  — один из членов прогрессии  — делится на 24.

Рассмотрим, как устроены все члены прогрессии, кратные трем. Степень тройки во всех членах прогрессии растет при увеличении номера на одну и ту же величину, или убывает на одну и ту же величину (для бесконечной прогрессии это на самом деле невозможно), или остается неизменной. Значит, либо ни один из членов прогрессии не кратен трем (а тогда и $24$ ), либо трем кратны все члены прогрессии, кроме может быть первого или последнего. Если все, кроме первого  — ни одна из сумм не будет кратна трем. Если все, кроме последнего  — умножим все члены прогрессии на 3, от этого суммы не перестанут делиться на 24, первый член не начнет делиться на 24 (он и так был кратен трем). Итак, можно считать, что все члены прогрессии кратны трем. Тогда поделим их все на 3 и будем изучать делимость S_i на 8.

Рассуждая аналогично про делимость на степени двойки, придем либо к ответу $4,$ либо к возможности сократить все на $2$ и изучению делимости на $4.$ Затем  — к изучению делимости на $2.$ Для нее уже вариантов, дающих больше четырех сумм, не останется  — либо все члены прогрессии имеют одинаковую четность (и Значит, нечетны и там 4 суммы), либо все четны, кроме первого (тогда четных сумм нет).

Ответ: а) 12, 36, 108, 324; б) нет; в) 4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

18.  

На доске написан упорядоченный набор из семи различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых четырех и среднее арифметическое последних четырех чисел равно 12.

а)  Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 12?

б)  Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 8?

в)  Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее арифметическое всех чисел.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

19.  

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.

а)  Может ли в последовательности быть три члена?

б)  Может ли в последовательности быть четыре члена?

в)  Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?

Решение. а)  Средний из трех членов арифметической прогрессии есть среднее арифметическое крайних, а геометрической  — среднее геометрическое. Но $дробь: числитель: 1 плюс 2046, знаменатель: 2 конец дроби$ и $корень из: начало аргумента: 1 умножить на 2046 конец аргумента$ не являются целыми.

б)  Возможны четыре случая, какую прогрессию образуют первые три и последние три члена.

Если обе прогрессии арифметические, то это просто четырехчленная арифметическая прогрессия с разностью $дробь: числитель: 2046 минус 1, знаменатель: 3 конец дроби \not принадлежит Z .$ Все ее члены не могут быть целыми.

Если обе прогрессии геометрические, то это просто четырехчленная геометрическая прогрессия со знаменателем $корень 3 степени из: начало аргумента: 2046 конец аргумента \not принадлежит Z .$ Все ее члены не могут быть целыми.

Если первые три числа образуют арифметическую прогрессию, а последние три геометрическую, то первые три можно обозначить за 1, $1 плюс d,$ $1 плюс 2d$ и из свойства геометрической прогрессии получить $2046 левая круглая скобка 1 плюс d правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс 2d правая круглая скобка в квадрате ,$ то есть $4d в квадрате минус 2042d минус 2045=0.$ Дискриминант этого уравнения равен

$2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2045=2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2042 плюс 64 плюс 16=$
$= левая круглая скобка 2042 плюс 8 правая круглая скобка в квадрате плюс 16=2050 в квадрате плюс 16 меньше 2051 в квадрате$ $2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2045=$
$=2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2042 плюс 64 плюс 16=$
$= левая круглая скобка 2042 плюс 8 правая круглая скобка в квадрате плюс 16=2050 в квадрате плюс 16 меньше 2051 в квадрате$ $2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2045=$
$=2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2042 плюс 64 плюс 16=$
$= левая круглая скобка 2042 плюс 8 правая круглая скобка в квадрате плюс 16=$
$=2050 в квадрате плюс 16 меньше 2051 в квадрате$

и не является точным квадратом, поэтому его корни иррациональны.

Аналогично, если первые три числа дают геометрическую прогрессию и равны 1, q, $q в квадрате ,$ то мы получаем уравнение $q плюс 2046=2q в квадрате ,$ $2q в квадрате минус q минус 2046=0,$ его дискриминант равен

$1 плюс 8 умножить на 2046=16369=128 в квадрате минус 15 больше 127 в квадрате$

и не является точным квадратом, поэтому его корни иррациональны.

в)  Да, например 1,2,4,6, ... ,2046. Здесь первые три числа дают геометрическую прогрессию, а все остальные  — арифметическую.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

20.  

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 2800, и

а)  пять;

б)  четыре;

в)  три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

21.  

Конечная последовательность $a_1,a_2,...,a_n$ состоит из $n\geqslant3$ не обязательно различных натуральных чисел, причем при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $a_k плюс 2=2a_k плюс 1 минус a_k плюс 1.$

а)  Приведите пример такой последовательности при $n=5,$ в которой $a_5=3.$

б)  Может ли в такой последовательности оказаться так, что $a_3=a_11?$

в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих 50?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

22.  

В последовательности натуральных чисел $a_1=47,$ каждый следующий член равен произведению суммы цифр предыдущего члена и $a_1.$

а)  Найдите пятый член последовательности.

б)  Найдите 50‐й член последовательности.

в)  Вычислите сумму первых пятидесяти членов этой последовательности.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

23.  

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1,a_2,...,a_n,...$ состоит из различных натуральных чисел.

а)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1,a_2,...,a_7$ ровно три числа делятся на 24?

б)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1,a_2,...,a_30$ ровно 9 чисел делятся на 24?

в)  Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди чисел $a_1,a_2,...,a_3n$ больше кратных 24, чем среди чисел $a_3n плюс 1,a_3n плюс 2,...,a_7n,$ если известно, что разность прогрессии равна 1?

Решение. а)  Прогрессия 24, 32, 40, ..., 72 удовлетворяет условию задачи.

б)  Пусть разность прогрессии равна d. Тогда два члена прогрессии с номерами, отличающимися на n, могут быть одновременно кратны 24 только если nd кратно 24. Если выбрать минимальное такое n, то числа, кратные 24, будут попадаться в последовательности через каждые n членов или не будут попадаться вовсе. Значит, они могут попадаться через 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 член. В первых пяти случаях 30 чисел накрываются не более чем восемью группами по 4 или более числа, в каждой из которых одно число кратно 24. В остальных трех в 30 числах можно выбрать 10 групп по 3 числа, в каждой из которых не менее одного подходящего числа. Поэтому ровно 9 сделать нельзя.

в)  Если $n больше или равно 24,$ и $a_1$ дает остаток x при делении на 24, то выбрав первое же число с остатком x при делении на 24 после $a_3n$ (оно будет не больше $a_3n плюс 24 меньше или равно a_4n$ ) и отсчитав $3n$ чисел, начиная с него (они все будут от $a_3n плюс 1$ до $a_7n$ ) мы получим числа с теми же остатками от деления на 24, что и первые $3n$ членов прогрессии. Поэтому уже среди них столько же кратных 24.

Если $n принадлежит левая квадратная скобка 18;23 правая квадратная скобка ,$ то среди $3n$ чисел подряд не более трех кратных 24 (если бы их было 4 и больше, то крайние из них отличались бы минимум на 72, а это невозможно, поскольку даже крайние из всех отличаются на $3n минус 1 меньше или равно 68$ ), а среди $4n$ чисел подряд есть минимум $4 умножить на 18=72,$ из которых есть три кратных 24.

Если же взять $n=17$ и $a_1=22,$ то среди первых 51 члена будут 24, 48, 72, а среди следующих 68  — только 96 и 120.

Ответ: а) да; б) нет; в) 17.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

24.  

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

а)  набор цифр 1234; 3269;

б)  вторично набор 1975;

в)  набор 8197?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

25.  

Для членов последовательности целых чисел $a_1,a_2,...,a_10$ при всех натуральных $k\leqslant8$ выполняется неравенство $a_k плюс a_k плюс 2 больше 2a_k плюс 1.$

а)  Может ли в такой последовательности выполняться равенство $a_10=0?$

б)  Может ли в такой последовательности выполняться равенство $a_1 плюс a_10=2a_7?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение $a_1 минус a_5 минус a_6 плюс a_10?$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

26.  

Известно, что все члены арифметической прогрессии $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ являются различными натуральными числами и что ее второй член в 8 раз больше первого.

а)  Может ли один из членов этой прогрессии быть больше другого ее члена в 567 раз?

б)  Найдите наименьшее возможное отношение двух членов этой прогрессии, отличных от $a_1,$ если известно, что отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.

в)  Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

27.  

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1,a_2,...,a_n,...$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1=a,$ $S_n=a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n$ при всех натуральных $n\geqslant2.$

а)  Существует ли такая прогрессия, для которой $S_10=100S_1?$

б)  Существует ли такая прогрессия, для которой $S_10=50S_2?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь $дробь: числитель: S_5 в квадрате , знаменатель: S_1S_10 конец дроби ?$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

28.  

Три двузначных натуральных числа x₁, x₂, x₃ образуют арифметическую прогрессию. При этом если в каждом из них поменять местами цифры десятков и единиц, то получатся числа y₁, y₂, y₃, которые также образуют арифметическую прогрессию.

а)  Приведите пример такой прогрессии.

б)  Чему равна наибольшая разность такой прогрессии?

в)  Сколько существует таких прогрессий?

Решение. а)  Например, подходят 12, 23, 34.

б)  Разность между первым и последним членами прогрессии равна удвоенной разности прогрессии и не превосходит $99 минус 10 = 89,$ поэтому разность прогрессии не может быть больше $дробь: числитель: 89, знаменатель: 2 конец дроби = целая часть: 44, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 .$ Значит, максимальная разность равна 44. Это значение достигается для прогрессии 11, 55, 99.

в)  Обозначим первые цифры чисел x₁, x₂, x₃ за a₁, a₂, a₃, а вторые  — b₁, b₂, b₃. Тогда:

$x_1 = 10 a_1 плюс b_1,$

$x_2 = 10 a_2 плюс b_2,$

$x_3 = 10 a_3 плюс b_3.$

Чтобы три числа образовывали прогрессию, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие

$x_2 минус x_1 = x_3 минус x_2,$

то есть $2 x_2 = x_1 плюс x_3$ или

$2 левая круглая скобка 10a_2 плюс b_2 правая круглая скобка = 10 a_1 плюс b_1 плюс 10 a_3 плюс b_3.$

Аналогично чтобы y₁, y₂, y₃ образовывали прогрессию, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие

$2 левая круглая скобка a_2 плюс 10 b_2 правая круглая скобка = a_1 плюс 10 b_1 плюс a_3 плюс 10 b_3.$

Домножим второе условие на 10 и вычтем из него первое. Получим $198 b_2 = 99 b_1 плюс 99 b_3,$ откуда $2 b_2 = b_1 плюс b_3.$ Следовательно, последние цифры чисел образуют арифметическую прогрессию. Из второго условия тогда получаем, что и $2a_2 = a_1 плюс a_3,$ то есть первые цифры чисел образуют арифметическую прогрессию. Ясно, что условий $2 b_2 = b_1 плюс b_3$ и $2 a_2 = a_1 плюс a_3$ будет и достаточно для выполнения условий

$2 левая круглая скобка 10a_2 плюс b_2 правая круглая скобка =10a_1 плюс b_1 плюс 10a_3 плюс b_3,$

$2 левая круглая скобка a_2 плюс 10b_2 правая круглая скобка =a_1 плюс 10b_1 плюс a_3 плюс 10b_3.$

Осталось учесть прогрессии, составленные из ненулевых цифр. Нужно выбрать две цифры одной четности (это будут b₁ и b₃), а затем взять $b_2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка b_1 плюс b_3 правая круглая скобка .$ Всего есть 5 нечетных цифр и 4 четных. Выбрать две нечетных можно $5 умножить на 5 = 25$ способами, а две четных $4 умножить на 4 = 16$ способами (порядок важен, прогрессии 1, 3, 5 и 5, 3, 1 например, это разные прогрессии). Итак, есть $25 плюс 16 = 41$ способ составить прогрессию из цифр. Нужно выбрать любой из таких способов для первых цифр наших чисел и любой способ для вторых цифр, что дает $41 умножить на 41 = 1681$ вариант.

Ответ: а) 12, 23, 34; б)  44; в)  1681.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505705	2010.
2	505813	a) 2; б) 2, 4, 38, 76.
3	505863	а) не может; б) верно; в) не может; г) не может.
4	505923	2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 или 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 или 44, 33.
5	505959	а) да; б) нет.
6	505965	а) да; б) нет.
7	505971	а) да; б) нет.
8	506079	111111111. а) 111111111; б) число 27.
9	521411	а) Да, $2 плюс 3 плюс 4 плюс 5=14;$ б) 41; в) 6.
10	521423	а) Да; б) Нет; в) 11.
11	521445	а) 45; б) 100; в) Да, например, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 56 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 420 конец дроби .$
12	521453	а) Да, например $4,5,6,7;$ Нет; в) $левая фигурная скобка 3;4;6 правая фигурная скобка .$
13	521813	а) 12, 36, 108, 324; б) нет; в) 4.
14	521820	а) 20, 10, 6, 12, 30, 2, 4 или 10, 11, 15, 12, 9, 13, 14, б) Нет, в) $дробь: числитель: 59, знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: 95, знаменатель: 7 конец дроби .$
15	527199	а) нет; б) нет; в) да.
16	527215	а) нет; б) нет; в) да.
17	527362	а) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) 20.
18	527369	а) 752; б) 940; в) $34404.$
19	527406	а) да; б) нет; в) 17.
20	527456	а) нет; б) да; в) да.
21	527546	а) да; б) да; в) 20.
22	527588	а) нет; б) 8; в) 105 или 8190.
23	527595	а) да; б) нет; в) $дробь: числитель: 200, знаменатель: 81 конец дроби .$
24	649751	а) 12, 23, 34; б)  44; в)  1681.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ