От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны M и N ос­но­ва­ний BC и AD со­от­вет­ствен­но тра­пе­ции ABCD, раз­би­ва­ет её на две тра­пе­ции, в каж­дую из ко­то­рых можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус этих окруж­но­стей равен 3, а мень­шее ос­но­ва­ние BC ис­ход­ной тра­пе­ции равно 8. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB, ос­но­ва­ния AN тра­пе­ции ABMN и впи­сан­ной в неё окруж­но­сти.

Бис­сек­три­са угла ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E. В тре­уголь­ник ADE впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AE в точке K и сто­ро­ны AD в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KT и DE па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те угол BAD, если из­вест­но, что AD  =  6 и KT  =  3.

Бис­сек­три­са угла ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E. В тре­уголь­ник ADE впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AE в точке K и сто­ро­ны AD в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KT и DE па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те угол BAD, если из­вест­но, что AD  =  8 и KT  =  4.

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат ABCD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMN равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке P. В каком от­но­ше­нии делит сто­ро­ну BC пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и центр окруж­но­сти, если AM : MB  =  1 : 3?

Диа­го­на­ли AC и BD четырёхуголь­ни­ка ABCD, впи­сан­но­го в окруж­ность, пе­ре­се­ка­ет­ся в точке P, причём BC  =  CD.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка COD, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что BD  — диа­метр опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка ABCD окруж­но­сти, AB  =  6, а

Квад­рат ABCD впи­сан в окруж­ность. Хорда CE пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль BD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние CK и KE, если

От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны M и N ос­но­ва­ний BC и AD со­от­вет­ствен­но тра­пе­ции ABCD, раз­би­ва­ет её на две тра­пе­ции, в каж­дую из ко­то­рых можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус этих окруж­но­стей равен 3, а мень­шее ос­но­ва­ние BC ис­ход­ной тра­пе­ции равно 10. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB, ос­но­ва­ния AN тра­пе­ции ABMN и впи­сан­ной в неё окруж­но­сти.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся ее бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AM  =  8MB и DN  =  2CN.

а)  До­ка­жи­те, что AD  =  4BC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

В тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на окруж­ность с цен­тром O.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если а ос­но­ва­ния равны 5 и 7.

В пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию ABCD с пря­мым углом при вер­ши­не A и ост­рым углом при вер­ши­не D впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Пря­мая DO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке M, а пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOM, если и

Около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с раз­лич­ны­ми сто­ро­на­ми опи­са­ли окруж­ность с диа­мет­ром BN. Вы­со­та BH пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те KN, если а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 12.

Точка O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Пря­мая OB вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APC, если ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти равен 4, а

Окруж­ность, впи­сан­ная в ромб ABCD , ка­са­ет­ся сто­рон CD и BC в точ­ках M и Q со­от­вет­ствен­но. Пря­мые AM и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те угол если и

В окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в точке O впи­са­на тра­пе­ция ABCD. Ос­но­ва­ние тра­пе­ции AD  яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, угол BAD равен 60°. Хорда СЕ пе­ре­се­ка­ет диа­метр AD в точке Р такой, что AP : PD  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что точка Р  — cере­ди­на от­рез­ка АО.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BPE.

Дана тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­но­сти, по­стро­ен­ные на бо­ко­вых сто­ро­нах KL и MN как на диа­мет­рах, пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B.

а)  До­ка­жи­те, что сред­няя линия тра­пе­ции лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку AB.

б)  Най­ди­те AB, если из­вест­но, что бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции равны 26 и 28, а сред­няя линия тра­пе­ции равна 15.

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность, причём диа­мет­ром окруж­но­сти яв­ля­ет­ся его диа­го­наль AC. Также из­вест­но, что в ABCD можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти четырёхуголь­ни­ка ABCD, если AC  =  26 и BD  =  24.

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат ABCD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMN равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую BC в точке P. В каком от­но­ше­нии делит сто­ро­ну AB (счи­тая от точки B) пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и центр окруж­но­сти, если AN : ND  =  1 : 2.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD рас­по­ло­же­ны две рав­ные не­пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся окруж­но­сти. Пер­вая ка­са­ет­ся сто­рон AD, AB и BC, вто­рая  — сто­рон AD, CD и BC.

а)  До­ка­жи­те, что общая внут­рен­няя ка­са­тель­ная l окруж­но­стей про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

б)  Пусть ABCD  — пря­мо­уголь­ник, а пря­мая l ка­са­ет­ся окруж­но­стей в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках M, N и в цен­трах окруж­но­стей, если AD  =  16, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 10.

Тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD и вы­со­той BH впи­са­на в окруж­ность. Пря­мая BH вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AC и AK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пря­мые CK и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке N. Най­ди­те AD, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 12, а пло­щадь четырёхуголь­ни­ка BCNH в 8 раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка KNH.

Дана тра­пе­ция ABCD, где AB  =  BC  =  CD, точка E лежит на плос­ко­сти так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD.

а)  До­ка­жи­те, что углы AEB и BDA равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если AB = 50, а

Около окруж­но­сти с цен­тром O опи­са­на тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC.

а)  До­ка­жи­те, что AB  — диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AOB.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го  — точки ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тра­пе­ции, к пло­ща­ди самой тра­пе­ции ABCD, если из­вест­но, что AB  =  CD, а ос­но­ва­ния тра­пе­ции от­но­сят­ся как 1 : 2.

На окруж­но­сти ω от­ме­че­ны точки M, N, K таким об­ра­зом, что MN  — диа­метр, а K  — се­ре­ди­на дуги MN. Точка E  — се­ре­ди­на хорды MK. Точка B  — се­ре­ди­на дуги KN, не со­дер­жа­щей точку M. Через точку E про­ве­де­на хорда AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  В окруж­ность ω впи­сан пря­мо­уголь­ник ABCD. Най­ди­те его пло­щадь, если

Вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­са R с цен­тром в точке O, его диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а про­дол­же­ния сто­рон BC и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те R, если АВ  =  5, CD  =  6,

В рав­но­бед­рен­ном ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на про­дол­же­ние бо­ко­вой сто­ро­ны BC опу­ще­на вы­со­та AH. Из точки H на сто­ро­ну AB и ос­но­ва­ние AC опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AM и MK равны.

б)  Най­ди­те MK, если AB  =  5, AC  =  8.

На сто­ро­не BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­на точка M такая, что

а)  До­ка­жи­те, что центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти лежит на диа­го­на­ли AC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти, если

В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вая сто­ро­на CD пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям AD и ВС. В эту тра­пе­цию впи­са­ли окруж­ность с цен­тром О. Пря­мая АО пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние от­рез­ка ВС в точке Е.

а)  До­ка­жи­те, что AD  =  CE + CD.

б)   Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD, если AE  =  10,

Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок AN пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке K, а луч MK пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник AKL по­до­бен тре­уголь­ни­ку MAL.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние AL : LD.

Около окруж­но­сти с цен­тром O опи­са­на тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC, K  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной  AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние мень­ше­го ос­но­ва­ния тра­пе­ции к боль­ше­му, если из­вест­но, что AB  =  CD, а пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тра­пе­ции со­став­ля­ет пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD.

Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC переcекает сто­ро­ну AC в точке D. Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ADB, ка­са­ет­ся от­рез­ка AD в точке P, а пря­мая OP пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка BDOK можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка BDOK, если AB  =  10, AC  =  9.

На окруж­но­сти от­ме­че­ны точки K, L, M, N, при­чем пря­мые KL и MN пе­ре­се­ка­ют­ся вне круга в точке E, пря­мые LM и KN пе­ре­се­ка­ют­ся вне круга в точке F. Бис­сек­три­са угла KEN пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки LM и KN в точ­ках P и R со­от­вет­ствен­но. Пря­мая, про­ве­ден­ная через точку F пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой PR, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки KL и MN в точ­ках S и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что PQRS  — ромб.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка PQRS, если из­вест­но, что EL  =  4, EM  =  6, LM  =  5 и KN  =  15.

Окруж­но­сти, по­стро­ен­ные на бо­ко­вых сто­ро­нах тра­пе­ции как на диа­мет­рах, ка­са­ют­ся между собой.

а)  До­ка­жи­те, что в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ос­но­ва­ния этой тра­пе­ции, если её бо­ко­вые сто­ро­ны равны 3 и 8, а боль­шая сто­ро­на ос­но­ва­ния видна из цен­тра впи­сан­ной окруж­но­сти под углом 120°.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся ее бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны не па­рал­лель­ны. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О под пря­мым углом и об­ра­зу­ют че­ты­ре по­доб­ных тре­уголь­ни­ка, у каж­до­го из ко­то­рых одна из вер­шин  — точка О.

а)  До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в че­ты­рех­уголь­ник АВCD окруж­но­сти, если AC  =  12 и BD  =  13.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD на сто­ро­не AD от­ме­че­на точка N так, что в че­ты­рех­уголь­ник BCDN можно впи­сать окруж­ность. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, опу­щен­ные из вер­ши­ны C, делят угол BCD на три рав­ные части.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в че­ты­рех­уголь­ник BCDN, если AC  =  2.

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность, а углы АВС и ADC  — пря­мые.

а)  До­ка­жи­те, что окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABD и DBC, ка­са­ют­ся в точке пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей че­ты­рех­уголь­ни­ка  ABCD.

б)  Най­ди­те АС, если пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ADC равен 44, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и DBC, равно 6.

В четырёхуголь­ник KLMN впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Эта окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны MN в точке A. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка А лежит на пря­мой LO.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны МN, если LA  =  1.