Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 518116

В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.

а) Докажите, что \angle AMO = \angle DKO.

б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC=10 и AD=15.

Спрятать решение

Решение.

а) Лучи CO и DO являются биссектрисами углов BCD и ADC соответственно, поэтому

\angle{DCO} плюс \angle{CDO}= дробь, числитель — \angle{BCD} плюс \angle{ADC}, знаменатель — 2 =90 в степени circ,

то есть прямые CO и DO перпендикулярны.

Получаем

\angle{AMO}=90 в степени circ минус \angle{ADM}=90 в степени circ минус \angle{KDO}=\angle{DKO}.

б) Лучи AO и BO являются биссектрисами прямым углов BAD и ABC соответственно, поэтому треугольник AOB равнобедренный прямоугольный. Значит, \angle{MAO}=\angle{CBO}=45 в степени circ, AO=BO. Поскольку прямые CO и DO перпендикулярны, получаем:

\angle{BOC}=90 в степени circ минус \angle{BOM}=\angle{AOM}.

Следовательно, треугольники AOM и BOC равны и нужно найти площадь одного из них.

Пусть окружность касается сторон AB, BC, CD и AD в точках E, F, G и H соответственно, а её радиус равен r. Тогда

AH=AE=BE=BF=r; CF=CG=10 минус r; DH=DG=15 минус r.

В прямоугольном треугольнике COD имеем:

OG в степени 2 =CG умножить на DG; r в степени 2 =(10 минус r)(15 минус r),

откуда r=6. Значит, S_{AOM}=S_{BOC}= дробь, числитель — BC умножить на OF, знаменатель — 2 =30.

 

Ответ: б) 30.

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 511 (C часть).
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник