СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 518116

В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.

а) Докажите, что .

б) Найдите площадь треугольника AOM, если и .

Решение.

а) Лучи CO и DO являются биссектрисами углов BCD и ADC соответственно, поэтому

,

то есть прямые CO и DO перпендикулярны.

Получаем

б) Лучи AO и BO являются биссектрисами прямым углов BAD и ABC соответственно, поэтому треугольник AOB равнобедренный прямоугольный. Значит, , . Поскольку прямые CO и DO перпендикулярны, получаем:

.

Следовательно, треугольники AOM и BOC равны и нужно найти площадь одного из них.

Пусть окружность касается сторон AB, BC, CD и AD в точках E, F, G и H соответственно, а её радиус равен r. Тогда

; ; .

В прямоугольном треугольнике COD имеем:

; ,

откуда . Значит, .

 

Ответ: б) 30.

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 511 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник