Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514719

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

Решение.

а) Из описанности трапеций следует, что BM плюс AN=AB плюс MN и MC плюс ND=CD плюс MN. Поскольку BM=MC и AN=ND, получаем что AB=CD.

б) Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6. Пусть AN = t, тогда из описанности трапеции BMNA, следует, AB плюс 6=t плюс 5, откуда AB=t минус 1. Опуская высоту BK, получим BK в степени 2 плюс KA в степени 2 =BA в степени 2 , откуда (t минус 5) в степени 2 плюс 36=(t минус 1) в степени 2 . Решая это уравнение, получаем t=7,5 и AB=6,5.

Обозначим O — центр окружности, вписанной в BMNA, центр второй окружности — O_1, их проекции на сторону AB за T и T_1 соответственно, радиус второй окружности обозначим r. Тогда TOO_1T_1 — трапеция, в которой TO=3, T_1O_1=r, OO_1=3 плюс r.

Опустим из O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно. Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому BL=BT=5 минус 3=2, а AT=4,5. Из подобия треугольников ATO и AT_1O_1 находим тогда, что AT_1=1,5r и TT_1=4,5 минус 1,5r.

Теперь, опустим перпендикуляр O_1G на OT. Тогда OG=3 минус r, O_1G=T_1T=4,5 минус 1,5r, получаем уравнение:

(4,5 минус 1,5r) в степени 2 плюс (3 минус r) в степени 2 =(r плюс 3) в степени 2 равносильно (9 минус 3r) в степени 2 плюс (6 минус 2r) в степени 2 =(2r плюс 6) в степени 2 равносильно 3r в степени 2 минус 34r плюс 27=0 равносильно r= дробь, числитель — 17\pm корень из { 208}, знаменатель — 3 .

Из двух корней подходит только меньший, поскольку r меньше 3.

 

Ответ: r= дробь, числитель — 17 минус корень из { 208}, знаменатель — 3 .


Аналоги к заданию № 513267: 514719 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник, Подобие