СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514719

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

Решение.

а) Из описанности трапеций следует, что и Поскольку и получаем что

б) Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6. Пусть AN = t, тогда из описанности трапеции BMNA, следует, откуда Опуская высоту BK, получим откуда Решая это уравнение, получаем и

Обозначим O — центр окружности, вписанной в BMNA, центр второй окружности — их проекции на сторону AB за T и соответственно, радиус второй окружности обозначим r. Тогда  — трапеция, в которой

Опустим из O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно. Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому а Из подобия треугольников ATO и находим тогда, что и

Теперь, опустим перпендикуляр на OT. Тогда получаем уравнение:

Из двух корней подходит только меньший, поскольку

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 513267: 514719 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник, Подобие