Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
а) Из описанности трапеций следует, что 
и 
Поскольку 
и 
получаем, что 
б) Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6. Пусть AN = t, тогда из описанности трапеции BMNA следует 
откуда 
Опуская высоту BK, получим 
откуда 
Решая это уравнение, получаем 
и 
Обозначим O центр окружности, вписанной в BMNA, центр второй окружности — 
их проекции на сторону AB — за T и 
соответственно, радиус второй окружности обозначим r. Тогда 
— трапеция, в которой 
Опустим из O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно. Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому 
а 
Из подобия треугольников ATO и 
находим тогда, что 
и 
Теперь опустим перпендикуляр 
на OT. Тогда 
получаем уравнение:
Из двух корней подходит только меньший, поскольку 
Ответ: 