СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 513267

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

Решение.

а) Из описанности трапеций следует, что и Поскольку и получаем, что

б) Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6. Пусть AN = t, тогда из описанности трапеции BMNA, следует, откуда Опуская высоту BK, получим откуда Решая это уравнение получаем и

Обозначим O — центр окружности, вписанной в BMNA, центр второй окружности — их проекции на сторону AB за T и соответственно, радиус второй окружности обозначим r. Тогда  — трапеция, в которой

Опустим из O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно. Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому а Из подобия треугольников ATO и находим, что и

Теперь, опустим перпендикуляр на OT. Тогда получаем уравнение:

Из двух корней подходит только меньший, поскольку

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 513267: 514719 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Семён Хазанов 08.05.2017 10:04

Легко доказать, что треугольник AOB - прямоугольный (AO и BO - биссектрисы углов трапеции). Тогда из подобия треугольников ATO и OTB получим AT = 9. Далее по теореме Пифагора AO = 3 корня из 10. Проведём общую касательную к двум окружностям, получим треугольник, в который вписана малая окружность (эта касательная перпендикулярна OO1). И ещё параллельную ей касательную "справа вверху" к большой окружности, получим ещё один треугольник. В малый треугольник вписана окружность радиуса r, в большой - окружность радиуса R. Из подобия этих треугольников r / R = (AO - R) / (AO +R) - и получаем ответ.