Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
а) Из описанности трапеций следует, что 
и 
Поскольку 
и 
получаем, что 
б) Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6. Пусть AN = t, тогда из описанности трапеции BMNA следует, 
откуда 
Опуская высоту BK, получим 
откуда 
Решая это уравнение, получаем 
и 
Обозначим O центр окружности, вписанной в BMNA, центр второй окружности — 
их проекции на сторону AB — за 
— трапеция, в которой 
Опустим из O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно. Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому 
а 
Из подобия треугольников ATO и 
находим, что 
и 
Теперь опустим перпендикуляр 
на OT. Тогда 
получаем уравнение:
Из двух корней подходит только меньший, поскольку 
Ответ: 
Легко доказать, что треугольник AOB - прямоугольный (AO и BO - биссектрисы углов трапеции). Тогда из подобия треугольников ATO и OTB получим AT = 9. Далее по теореме Пифагора AO = 3 корня из 10. Проведём общую касательную к двум окружностям, получим треугольник, в который вписана малая окружность (эта касательная перпендикулярна OO1). И ещё параллельную ей касательную "справа вверху" к большой окружности, получим ещё один треугольник. В малый треугольник вписана окружность радиуса r, в большой - окружность радиуса R. Из подобия этих треугольников r / R = (AO - R) / (AO +R) - и получаем ответ.