Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 513267

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

Решение.

а) Из описанности трапеций следует, что BM плюс AN=AB плюс MN и MC плюс ND=CD плюс MN. Поскольку BM=MC и AN=ND, получаем, что AB=CD.

б) Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6. Пусть AN = t, тогда из описанности трапеции BMNA, следует, AB плюс 6=t плюс 4, откуда AB=t минус 2. Опуская высоту BK, получим BK в степени 2 плюс KA в степени 2 =BA в степени 2 , откуда (t минус 4) в степени 2 плюс 36=(t минус 2) в степени 2 . Решая это уравнение получаем t=12 и AB=10.

Обозначим O — центр окружности, вписанной в BMNA, центр второй окружности — O_1, их проекции на сторону AB за T и T_1 соответственно, радиус второй окружности обозначим r. Тогда TOO_1T_1 — трапеция, в которой TO=3, T_1O_1=r, OO_1=3 плюс r.

Опустим из O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно. Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому BT=BL=4 минус 3=1, а AT=9. Из подобия треугольников ATO и AT_1O_1 находим, что AT_1=3r и TT_1=9 минус 3r.

Теперь, опустим перпендикуляр O_1G на OT. Тогда OG=3 минус r, O_1G=T_1T=9 минус 3r, получаем уравнение:

(9 минус 3r) в степени 2 плюс (3 минус r) в степени 2 =(r плюс 3) в степени 2 равносильно 9r в степени 2 минус 66r плюс 81=0 равносильно 3r в степени 2 минус 22r плюс 27=0 равносильно r= дробь, числитель — 11\pm корень из { 40}, знаменатель — 3 .

Из двух корней подходит только меньший, поскольку r меньше 3.

 

Ответ:  дробь, числитель — 11 минус 2 корень из { 10}, знаменатель — 3 .


Аналоги к заданию № 513267: 514719 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Семён Хазанов 08.05.2017 10:04

Легко доказать, что треугольник AOB - прямоугольный (AO и BO - биссектрисы углов трапеции). Тогда из подобия треугольников ATO и OTB получим AT = 9. Далее по теореме Пифагора AO = 3 корня из 10. Проведём общую касательную к двум окружностям, получим треугольник, в который вписана малая окружность (эта касательная перпендикулярна OO1). И ещё параллельную ей касательную "справа вверху" к большой окружности, получим ещё один треугольник. В малый треугольник вписана окружность радиуса r, в большой - окружность радиуса R. Из подобия этих треугольников r / R = (AO - R) / (AO +R) - и получаем ответ.