Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 526727

Окружность, вписанная в ромб ABCD , касается сторон CD и BC в точках M и Q соответственно. Прямые AM и BC пересекаются в точке P.

а) Докажите, что BP умножить на BQ = BC в степени 2 .

б) Найдите угол \angle APC, если DM =1 и MC = 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим DM=BQ=x, CM=y. Треугольники CMP и DMA подобны с коэффициентом подобия  дробь, числитель — CM, знаменатель — MD = дробь, числитель — y, знаменатель — x , поэтому

CP= дробь, числитель — y, знаменатель — x умножить на AD = дробь, числитель — y(x плюс y), знаменатель — x .

Тогда

BP=BC плюс CP=x плюс y плюс дробь, числитель — y(x плюс y), знаменатель — x =(x плюс y) левая круглая скобка 1 плюс дробь, числитель — y, знаменатель — x правая круглая скобка = дробь, числитель — (x плюс y) в степени 2 , знаменатель — x = дробь, числитель — BC в степени 2 , знаменатель — BQ .

Следовательно, BP умножить на BQ=BC в степени 2 .

б) Пусть O — центр окружности радиуса r, вписанной в ромб. Тогда OM — высота прямоугольного треугольника COD, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

r=OM= корень из { DM умножить на MC}= корень из { 1 умножить на 4}=2.

Значит, высота ромба равна 2r=4.

Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на прямую BC . Тогда AH — высота ромба, поэтому

AH=2r=4; BH= корень из { AB в степени 2 минус AH в степени 2 }= корень из { 5 в степени 2 минус 4 в степени 2 }=3.

Из подобия треугольников CMP и DMA находим, что

CP= дробь, числитель — CM, знаменатель — MD умножить на AD=4 умножить на 5=20.

Значит,

PH=CP плюс BC плюс BH=20 плюс 5 плюс 3=28.

Из прямоугольного треугольника AHP находим, что

 тангенс \angle APH = дробь, числитель — AH, знаменатель — PH = дробь, числитель — 4, знаменатель — 28 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

Следовательно, \angle APC=\angle APH=\arctg дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

 

Ответ: б) \arctg дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 526727: 555621 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники