В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.
а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной в четырехугольник АВCD окружности, если AC = 12 и BD = 13.
а) Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники ABO и COD. Если бы острый угол BAO был равен углу DCO, то прямые AB и CD были бы параллельны. Поэтому
Из условия следует, что или 
или 
Без ограничения общности можно считать, что 
Тогда из подобия треугольников AOD и BOC получим, что 
(если равны углы ODA и OBC, то были бы параллельны прямые BC и AD). Таким образом, в треугольнике ABC стороны AB и BC равны.
В треугольнике ADC отрезок DO служит биссектрисой и высотой, значит, AD = DC. Следовательно, 
а значит, в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Это и требовалось доказать.
б) Треугольник ABD прямоугольный, поскольку
Гипотенуза треугольника ABD равна 13, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 6.
Пусть E — центр окружности, вписанной в ABCD, F — точка касания окружности со стороной AB, G — точка касания окружности со стороной AD. Пусть далее 
Из подобия треугольников FBE и ABD получаем: 
откуда 
Из теоремы Пифагора находим, что 
Кроме того, 
Решая эту систему, получаем, что
откуда
Ответ: 