Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514374

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC=6 корень из 2 .

Решение.

а) Вписанные углы BAC и DAC опираются на равные хорды, поэтому они равны (рис. 1). Вписанные углы ADB и ACB опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ADP=\angle ACB. Значит, треугольники ADP и ACB подобны по двум углам. Следовательно,

AB:BC=AP:PD.

б) Точки A и C лежат на окружности с диаметром BD, значит, треугольники ABD и BCD прямоугольные (рис. 2). Кроме того, по условию треугольник BCD равнобедренный, поэтому BD=BC умножить на корень из 2 =12. Катет AB прямоугольного треугольника ABD равен половине гипотенузы BD, поэтому \angle ADB=30 в степени circ,\angle ABD=60 в степени circ.

Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, поэтому точка O лежит на биссектрисе AC угла BAD и на биссектрисе угла ADB. Тогда

\angle ACD=\angle ABD=60 в степени circ, \angle ODB= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle ADB=15 в степени circ, \angle ODC=\angle ODB плюс \angle BDC =15 в степени circ плюс 45 в степени circ=60 в степени circ.

Следовательно, треугольник COD равносторонний, причём CD=BC=6 корень из 2 . Следовательно, площадь треугольника COD равна 18 корень из 3 .

 

Ответ: б) 18 корень из 3 .

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2015
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники