Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 630220
i

На сто­ро­не BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­на точка M такая, что A M=M C.

а)  До­ка­жи­те, что центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти лежит на диа­го­на­ли AC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти, если A B=5, B C=10, \angle B A D=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a) Тре­уголь­ник AMC рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, \angle M A C=\angle M C A. Пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, на­крест ле­жа­щие углы BCA и CAD при се­ку­щей AC равны. По­лу­ча­ем, что \angle M A C=\angle M C A=\angle C A D, a зна­чит, луч  AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла MAD, на ко­то­рой лежит центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти.

б)  Обо­зна­чим AM  =  MC через x, тогда B M=10 минус x.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABM:

A M в квад­ра­те =A B в квад­ра­те плюс B M в квад­ра­те минус 2 A B умно­жить на B M умно­жить на ко­си­нус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

то есть

x в квад­ра­те =25 плюс левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 5 левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да x=7. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке CMD, в ко­то­ром \angle M C D=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

M D= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: M C в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс C D в квад­ра­те минус M C умно­жить на C D пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та .

Тре­уголь­ник AMD и па­рал­ле­ло­грамм ABCD имеют общую вы­со­ту, рав­ную рас­сто­я­нию между пря­мы­ми AD и BC, и общую сто­ро­ну AD, пер­пен­ди­ку­ляр­ную этой вы­со­те. Зна­чит, пло­щадь SAMD тре­уголь­ни­ка AMD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD:

S_A M D= дробь: чис­ли­тель: A B умно­жить на A D умно­жить на синус \angle B A D, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

С дру­гой сто­ро­ны, пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMD равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. От­сю­да найдём ра­ди­ус r впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти:

r= дробь: чис­ли­тель: 2 S_A M D, зна­ме­на­тель: A M плюс M D плюс A D конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та плюс 10 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 17 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 17 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 630220: 630204 630227 647139 ... Все

Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025