Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение CK и KE, если 
Решение.
Спрятать критерииа) В треугольниках CKD и CDE угол KCD — общий,
Значит, эти треугольники подобны, откуда
б) В треугольнике CKD имеем: 
откуда 
Из подобия треугольников CKD и CDE получаем, что 
В треугольнике CKD имеем:
то есть
откуда CK : KE = 2 : 1.
Ответ: б) 2 : 1.
Источники:
ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие
Хочу предложить вариант решения:
а) Построим треугольник AEC, угол AEC = 90 т.к. AC - диаметр. Пусть точка пересечения диагоналей - O, тогда OK срединный перпендикуляр к стороне AC. Тогда угол ACE = углу OCK, a угол COK = CEA = 90°, значит, треугольники COK и CEA подобны, причем:
СE/AC = OC/CK => CE * CK = AC * OC.
Пусть сторона квадрата равна "a", тогда:
AC * OC = a*sqrt(2) * a*sqrt(2)/2 = a^2
AB * CD = a*a = a^2.
б) Найдем <ACE = 90 - <ACB - <ECD = 30.
Сторона напротив 30° равна половине гипотенузы. => AE = a*sqrt(2)/2
Достроим OK и AE до пересечения в точке X, тогда <CKO = 90 - 30 = 60 => <EKX = 60 => <AXO = 30.
Тогда сторона против 30 равно половине гипотенузы. => AX = AO * 2 = a*sqrt(2) => EX = a*sqrt(2)/2
По теореме Менелая:
AO/OC * CK/EK * EX / AX = 1 => 1 * CK/EK * 1/2 = 1 => CK/EK = 2/1