а)  Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му AO и BO  — бис­сек­три­сы углов BAD и ABC. Сумма этих углов равна по­это­му сумма углов BAO и ABO равна Ана­ло­гич­но Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

б)  Окруж­ность ра­ди­у­са R, впи­сан­ная в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся ее сто­рон AB, BC, CD и AD в точ­ках со­от­вет­ствен­но. Тогда AKON и BKOL  — квад­ра­ты, по­это­му Зна­чит,

Бис­сек­три­сы углов тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не, пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом, по­это­му тре­уголь­ник  COD пря­мо­уголь­ный. От­ре­зок   — вы­со­та этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны пря­мо­го угла, по­это­му то есть От­ку­да на­хо­дим, что Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тра­пе­ции равна

Ответ: б) 35.

При­ве­дем ре­ше­ние, ос­но­ван­ное на идее Олега Браж­ни­ка из Са­ра­то­ва.

Пусть ВС  — мень­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции и AB  =  х. Про­ве­дем вы­со­ту СК, за­ме­тим, что Тра­пе­ция опи­са­на во­круг окруж­но­сти, по­это­му Сле­до­ва­тель­но, При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра к тре­уголь­ни­ку CKD:

Тогда