СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 517758

В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь трапеции, если а основания равны 5 и 7.

Решение.

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC. Сумма этих углов равна , поэтому сумма углов BAO и ABO равна Аналогично, Тогда ##

Следовательно,

б) Окружность радиуса R, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, касается ее сторон AB, BC, CD и AD в точках соответственно. Тогда AKON и BKOL — квадраты, поэтому Значит,

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, пересекаются под прямым углом, поэтому треугольник COD прямоугольный. Отрезок — высота этого прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, поэтому то есть Откуда находим, что Следовательно, площадь трапеции равна

Ответ: б) 35.

 

Приведем решение, основанное на идее Олега Бражника из Саратова.

Пусть ВС — меньшее основание трапеции, и положим AB = х. Проведем высоту СК, заметим, что Трапеция описана вокруг окружности, поэтому Следовательно, Применим теорему Пифагора к треугольнику CKD:

Тогда

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 992 (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2017
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник