К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую BC в точке P. В каком отношении делит сторону AB (считая от точки B) прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN : ND = 1 : 2.
а) Пусть K — точка касания окружности с прямой MN, F — точка касания окружности и прямой AB, E — точка касания окружности и прямой AD. По свойству касательных, проведенных из одной точки, MK = MF, KN = NE. Отсюда следует, что периметр треугольника AMN равен
Что и требовалось доказать.
б) Пусть О — центр окружности, а H — точка пересечения прямых AB и PO. Заметим, что центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
Далее,
Поэтому
Тогда треугольники FOH и NOE равны по катету и острому углу. Значит, FH = EN, и AH : HB = DN : NA = 2 : 1, тогда BH : HA = 1 : 2.
Ответ: б) 1 : 2.