Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Отрезок AN пересекает окружность в точке K, а луч MK пересекает основание AD в точке L.
а) Докажите, что треугольник AKL подобен треугольнику MAL.
б) Найдите отношение AL : LD.
а) Трапеция равнобедренная, значит,
поскольку точка P — точка касания окружности и основания BC. Тогда отрезок MN параллелен основанию BC и 
По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что 
Значит, 
и треугольники AKL и MAL подобны по двум углам.
б) Из доказанного подобия следует, что 
откуда 
С другой стороны, по теореме о квадрате касательной получаем, что 
поскольку точка Q — точка касания окружности с основанием AD. Тогда AL = LQ, следовательно, 
значит, AL : LD = 1 : 3.
Ответ: б) 1 : 3.