Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 627185
i

На окруж­но­сти ω от­ме­че­ны точки M, N, K таким об­ра­зом, что MN  — диа­метр, а K  — се­ре­ди­на дуги MN. Точка E  — се­ре­ди­на хорды MK. Точка B  — се­ре­ди­на дуги KN, не со­дер­жа­щей точку M. Через точку E про­ве­де­на хорда AB.

а)  До­ка­жи­те, что AE:BE=1:3.

б)  В окруж­ность ω впи­сан пря­мо­уголь­ник ABCD. Най­ди­те его пло­щадь, если MN=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр окруж­но­сти, R  — её ра­ди­ус. Тогда OE=EM=EK= дробь: чис­ли­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Далее, по­сколь­ку \angle EOK=45 гра­ду­сов =\angle KOB=\angle BON, тогда \angle EOB=90 гра­ду­сов . От­сю­да, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра,

EB в квад­ра­те =EO в квад­ра­те плюс OB в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс R в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 3R в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

С дру­гой сто­ро­ны,

AE умно­жить на EB= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: EB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AE умно­жить на EB, зна­ме­на­тель: EB в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfracR в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \tfrac3R в квад­ра­те 2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Имеем:

AB= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби EB= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3R в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, это диа­метр окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но,

AB= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 42 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad\quad AC=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad\quad BC в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 42 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =21.

Тогда S_ABCD=AB умно­жить на BC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 42 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та =21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) 21 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 384
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025