СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514372

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

Решение.

а) Пусть окружность, вписанная в квадрат, касается его стороны AB в точке M1, стороны AD — в точке N1, а прямой MN — в точке T. По свойству касательных и Тогда

 

б) Положим Тогда

По теореме Пифагора то есть

Отсюда находим, что Тогда и Пусть O — центр окружности, а прямая PO пересекает стороны AD и BC в точках L и H соответственно. Из равенства треугольников DOL и BOH следует, что DL = BH, поэтому Окружность вписана в угол MPC, значит, PL — биссектриса треугольника DPN, который подобен треугольнику AMN. Используя свойство биссектрисы и подобие, находим:

откуда

учитывая, что находим, что

 

Ответ: б) 1 : 3.

 

Приведем решение пункта б) предложенное нашим читателем Дмитрием.

Часть б) можно решить проще, доказав, что Оттуда сразу следует, что при любом положении точки M. Действительно, а — угол между касательными и соответствующими им радиусами. Далее, — биссектриса — биссектриса Следовательно, Треугольники и равны по второму признаку.


Аналоги к заданию № 514372: 519900 Все

Источник: Задания 16 (С4) ЕГЭ 2015
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Подобие
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Галина Сычева 02.12.2018 16:02

Комментарий к решению Дмитрия. Очень хорошее, на первый взгляд решение, но почему точки Т, А, О лежат на одной прямой? Это не верно.

Константин Лавров

Это, конечно верно, но этим, конечно, Дмитрий не пользуется в своем решении.