СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 526292

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а

Решение.

а) Пусть — центр вписанной окружности, следовательно, и − биссектрисы. Обозначим углы : Тогда и (опираются на одну дугу). Имеем: Но также как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство:

б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180o, следовательно, как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник — равносторонний, его площадь равна

По теореме синусов, . Следовательно, искомая площадь

 

Ответ: б) .

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в задаче стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце):

1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.

2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.

В нашем случае эта точка — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, а поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.

Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.


Аналоги к заданию № 526292: 526531 Все

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Санкт-Петербург, Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 316, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Свойства ортоцентра, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники