Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности 
а) Пусть O — центр вписанной окружности, следовательно, BO и CO — биссектрисы. Обозначим углы 
: 
Тогда 
и 
(опираются на одну дугу). Имеем: 
Но также 
как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство:
б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180o, следовательно, 
как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC равносторонний, его площадь равна 
По теореме синусов 
Следовательно, искомая площадь 
Ответ: б) 
Примечание Дмитрия Гущина.
Ученик, занимавшийся в математическом кружке или посещавший факультатив, узнает в этой задаче ЕГЭ-2019 стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце), что:
1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.
2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.
В нашем случае эта точка — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, и поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.
Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.