a) Рав­ные дуги стя­ги­ва­ют равны хорды; впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на рав­ные дуги, равны. По­это­му до­ста­точ­но до­ка­зать, что Пусть угол  КВС равен α. Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BНC равна 90°, по­это­му Цен­траль­ный угол ВОА в два раза боль­ше впи­сан­но­го угла ВСА, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу АВ, по­это­му На­ко­нец, тре­уголь­ник  BОА рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку AO  =  OB как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, по­это­му каж­дый из рав­ных углов при его ос­но­ва­нии АВ равен Итак, по­это­му Тре­бу­е­мое до­ка­за­но.

б)  За­ме­тим, что Тогда

Далее, как угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр. Диа­метр равен удво­ен­но­му ра­ди­у­су: Тогда как катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30° в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BKN.

Ответ: 12.

При­ме­ча­ние Ев­ге­ния Обу­хо­ва (Москва).

Пункт а)  — это из­вест­ный факт о том, что при изо­го­наль­ном со­пря­же­нии ор­то­центр пе­ре­хо­дит в центр опи­сан­ной окруж­но­сти.

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Уче­ник, за­ни­ма­ю­щий­ся в ма­те­ма­ти­че­ском круж­ке или по­се­ща­ю­щий фа­куль­та­тив по ма­те­ма­ти­ке, узна­ет в за­да­че стан­дарт­ную кон­струк­цию: ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти и вы­со­ту, про­ве­ден­ные из одной вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка. Эти от­рез­ки пе­ре­хо­дят друг в друга при сим­мет­рии от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка, ис­хо­дя­щей из той же вер­ши­ны. По­сколь­ку при такой сим­мет­рии сто­ро­ны угла также пе­ре­хо­дят в друг друга, угол КВС пе­ре­хо­дит в угол ABN. От­сю­да и сле­ду­ет ра­вен­ство хорд AN и СК.

Пря­мые, про­хо­дя­щие через вер­ши­ну угла и сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы этого угла, на­зы­ва­ют­ся изо­го­наль­ны­ми. Ма­те­ри­а­лы для за­ня­тия со школь­ни­ка­ми по дан­ной теме можно взять, на­при­мер, в ста­тье Д. Про­ко­пен­ко «Изо­го­наль­ное со­пря­же­ние и пе­даль­ные тре­уголь­ни­ки».