Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 526255

Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.

а) Докажите, что AN=CK.

б) Найдите KN, если \angle BAC=35 градусов, \angle ACB=65 градусов, а радиус окружности равен 12.

Спрятать решение

Решение.

a) Равные дуги стягивают равны хорды; вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Поэтому достаточно доказать, что \angle ABN=\angle KBC. Пусть угол КВС равен α. Сумма острых углов прямоугольного треугольника BНC равна 90°, поэтому \angle BCH= \angle BCA =90 градусов минус альфа . Центральный угол ВОА в два раза больше вписанного угла ВСА, опирающегося на ту же дугу АВ, поэтому \angle BOA= 180 градусов минус 2 альфа . Наконец, треугольник BОА равнобедренный, поскольку AO = OB как радиусы окружности, поэтому каждый из равных углов при его основании АВ равен \tfrac12 левая круглая скобка 180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка правая круглая скобка = альфа . Итак, \angle ABN= альфа = \angle KBC, поэтому AN=CK. Требуемое доказано.

б) Заметим, что \angle ABC=80 градусов. Тогда:

\angle NBK=\angle ABC минус \angle ABN минус \angle KBC=80 градусов минус 25 градусов минус 25 градусов=30 градусов.

Далее, \angle NKB=90 градусов как угол, опирающийся на диаметр. Диаметр равен удвоенному радиусу: BN=24. Тогда KN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BN=12 как катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном треугольнике BKN.

 

Ответ: 12.

 

Примечание Евгения Обухова (Москва).

Пункт а) это известный факт о том, что при изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимающийся в математическом кружке или посещающий факультатив по математике, узнает в задаче стандартную конструкцию: радиус описанной окружности и высоту, проведенные из одной вершины треугольника. Эти отрезки переходят друг в друга при симметрии относительно биссектрисы треугольника, исходящей из той же вершины. Поскольку при такой симметрии стороны угла также переходят в друг друга, угол КВС переходит в угол ABN. Отсюда и следует равенство хорд AN и СК.

Прямые, проходящие через вершину угла и симметричные относительно биссектрисы этого угла, называются изогональными. Материалы для занятия со школьниками по данной теме можно взять, например, в статье Д. Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники».

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Свойства ортоцентра
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Абдуллах Яндиев 31.05.2019 23:11

Добрый вечер!

У меня была точно такая же задача. Я доказал в пункте а), что прямые NK и AC параллельны. Cделать это несложно: берем угол HKC за α и получаем, что внутренние односторонние углы равны, а дальше все просто. И еще: так как нам углы изначально неизвестны, то точки A, N, K, C могут располагаться наоборот (то есть точки N и K меняются местами, в зависимости от расположения вершины B). Примите, пожалуйста, во внимание мои замечания.