В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что 
а) Докажите, что точка А лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны МN, если LA = 1.
а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому угол OLM равен 60°, а угол LOH, где точка H — точка касания со стороной LM, равен 30°. Выразим угол HOA:
откуда 
Следовательно, точки L, O, A лежат на одной прямой.
б) Точка O лежит на биссектрисах углов KNA и HMA, а потому угол NOA равен 45° и угол MOA равен 75°. Пусть OA = x, тогда
откуда 
Таким образом, длина стороны MN равна
Ответ: б) 
Приведём другое решение.
а) Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения биссектрис. Значит, отрезок LO — часть биссектрисы. Продлим отрезок LO до пересечения с прямой MN в точке Е. Угол KLE равен 60° как половина угла KLM. Угол NKL равен 120° по условию. Сумма односторонних углов при пересечении прямых KN и LO секущей KL равна 180°, значит, прямые KN и LO параллельны. Тогда прямая LO перпендикулярна прямой NM. Отрезок OA — радиус, проведённый в точку касания, значит, прямая OA перпендикулярна прямой NM. Но через точку O можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой MN. Значит, точки E и A совпадают, и точка А принадлежит прямой LO.
б) По условию LA = 1, тогда в прямоугольном треугольнике LAM с углом 60° находим: LM = 2, 
В прямоугольной трапеции KLAN проведём высоту KP. Пусть
тогда 
По свойству описанного четырёхугольника 
тогда
Значит,
