Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.
а) Докажите, что AD = 4BC.
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен 
а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.
Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому
то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y.
откуда y = 2x. Получаем: BK = BM = x, AL = AM = 8x, CK = CN = 2x, DL = DN = 4x, BC = BK + KC = 3x, AD = AL + LD = 12x, то есть AD = 4BC.
б) Заметим, что 
поэтому 
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP = 4BP, AB = 3BP, BP = 3x, PN = PM = 4x. Прямая PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем:
Значит, 
Ответ: б) 4.
Приведем другое решение пункта а).
Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, ее центр находится в точке O, а BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y. Поскольку точки M, K, N и L — точки касания, 
и 
Опустим высоты BH и CQ:
тогда по теореме Пифагора 
Поскольку 
имеем 
откуда 
Таким образом, BC = BK + KC = 3x, AD = AL + LD = 12x, то есть AD = 4BC.