На окружности отмечены точки K, L, M, N, причем прямые KL и MN пересекаются вне круга в точке E, прямые LM и KN пересекаются вне круга в точке F. Биссектриса угла KEN пересекает отрезки LM и KN в точках P и R соответственно. Прямая, проведенная через точку F перпендикулярно прямой PR, пересекает отрезки KL и MN в точках S и Q соответственно.
а) Докажите, что PQRS — ромб.
б) Найдите площадь четырехугольника PQRS, если известно, что EL = 4, EM = 6, LM = 5 и KN = 15.
а) Обозначим точку пересечения прямых RP и SQ с окружностью так, как показано на рисунке. Тогда
откуда
и
откуда
Из выражения (2)
откуда
Следовательно, 
значит, треугольник RFP — равнобедренный и RT = TP. Аналогично ST = TQ, тогда четырёхугольник PQRS — параллелограмм с перпендикулярными диагоналями, то есть ромб.
б) Заметим, что 
тогда треугольники KEN и MEL подобны по двум углам, значит,
откуда следует, что KE = 18, KL = 14 и NE = 12, NM = 6.
По свойству биссектрисы 
тогда LP = 2 и PM = 3. Аналогично треугольники FNM и FLK подобны, следовательно,
то есть
откуда FM = 9 и NF = 6. По свойству биссектрисы 
откуда NQ = 2,4 и QM = 3,6.
По теореме косинусов
тогда
или 
Аналогично
следовательно,
откуда 
Таким образом, площадь ромба PQRS равна
Ответ: б) 