Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 563577

Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.

а)  Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.

б)  Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, \angle BAC = 30 градусов, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку основания трапеции AD и BC параллельны, а её высота BH\perp AD, то BH\perp BC, а значит, вписанный угол KBC, равны 90°, опирается на диаметр CK, на который опирается и вписанный угол CAK . Поэтому AC\perp AK.

б)  Вписанные углы CKB и CAB опираются на одну дугу, а следовательно, равны. Поэтому в прямоугольном треугольнике KBC катет BC лежит напротив угла 30°, а значит, равен половине гипотенузы CK, то есть BC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CK=R=12, а катет

BK=CK умножить на косинус 30 градусов=2R умножить на \dfrac корень из 32=12 корень из 3.

В треугольниках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC прямые, и, значит, треугольники подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому

 дробь: числитель: S_KBC, знаменатель: S_KHN конец дроби = дробь: числитель: S_KHN плюс S_BCNH, знаменатель: S_KHN конец дроби = дробь: числитель: S_KHN плюс 8S_KHN, знаменатель: S_KHN конец дроби =9= левая круглая скобка дробь: числитель: KB, знаменатель: KH конец дроби правая круглая скобка в квадрате .

Следовательно, 3= дробь: числитель: 12 корень из 3, знаменатель: KH конец дроби , то есть KH=4 корень из 3, а значит, BH=BK минус KH=8 корень из 3.

Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому высота BH делит большее основание AD на отрезки AH= дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: 2 конец дроби и HD=\dfracAD плюс BC2. Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, получим AH умножить на HD=BH умножить на HK, откуда

 дробь: числитель: AD в квадрате минус BC в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби =8 корень из 3 умножить на 4 корень из 3.

Тогда  дробь: числитель: AD в квадрате минус 144, знаменатель: 4 конец дроби =96, поэтому AD в квадрате =528, то есть AD=4 корень из 33.

 

Ответ: AD=4 корень из 33.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 563577: 563551 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Задания 16 ЕГЭ–2021