1. Тип 13 № 507886 
Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
б) Отберем корни на промежутке 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем 
и 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 507886
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
откуда 
или 
откуда 
или 
б) 
откуда 
либо 
откуда 
поэтому из корней квадратного уравнения заданному отрезку принадлежит число 
Корни тригонометрического уравнения отберем на единичной окружности.
б) 
Значит, 
или 
где 
В первом случае 
во втором случае 
где 
принадлежат корни 
и 
б) 
то 
поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.
то 
Заметим, что 
поэтому корень 
лежит на отрезке [3; 5].
то 
поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.
б) 
где 
б) 
где 
где 
формулу приведения 
и формулу синуса суммы:
б) 
Из неё следует, что 
Поэтому из исходного уравнения получаем:
б) 
б) 
б) 
решим неравенства:
б) 
и 
б) 
б) 
тогда: 
откуда 
удовлетворяет заданному интервалу. 
б) 
удобно решить, используя геометрический смысл модуля. Действительно, с геометрической точки зрения левая часть уравнения представляет собой разность расстояний от точки с координатой t до точек с координатами 
для точек, лежащих на числовой оси правее числа 2, эта разность расстояний будет меньше двух, а для точек, лежащих левее, — больше двух.
тогда это эквивалентно совокупности:
б) 
:
б) 
и 
Поэтому последнее равенство может достигаться только в случае, если 
а 
Решим систему уравнений:
получим 
Следовательно, 
и 
б) 
С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
б) 
получим 
Условию 
соответствует только 
получим
и 
б) 
б) 
Представим уравнение как произведение синуса и косинуса, равное 1:
или 
б) 
методом неравенств:
и 
где 
Получим числа: 
б) 
Для второго уравнения сделаем замену 
получим уравнение 
Его дискриминант равен нулю: 
тогда 
Сделав обратную замену, получаем
б) 
б) 
Оценим эти корни:
лежат корни при k = 0: 
б) 
и используя формулу синуса двойного угла, получаем:
б) 
б) 
б) 
б) 
Это выражение определено при 
и для всех таких чисел равно 1. Получаем:
соответствует 
б) 
б) 
откуда 
откуда 
или 
Получим числа: 
б) 
тогда
с помощью двойного неравенства:
б) 
Преобразуем уравнение при этом условии:
не обращается в нуль, поскольку косинус и синус одного угла одновременно в нуль не обращаются.
б) 
тогда
:
б) 
и 
Можно было бы поступить несколько иначе, обозначив 
Приведем такое решение, для этого возведем обе части уравнения
тогда
являются решениями уравнения. При нечетных значениях k, используя периодичность и применяя формулы приведения, имеем:
являются посторонними корнями.
дает все решения уравнения.
решений не имеет, поскольку синус и косинус одного аргумента не обращаются в −1 одновременно.
б) 
то получаем, что 
Обоим этим условиям одновременно удовлетворяют лишь числа 
откуда 
то получаем, что 
Этим условиям одновременно удовлетворяют числа 
а значит, 
отберем при помощи двойных неравенств:
б) 
б) 
откуда следует, что 
Далее, 
или 
Найденным значениям параметра соответствуют корни 
и 
Подставляя, получаем:
при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим числа: 
б) 
б) 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: 
б) 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: 
б) 
при помощи тригонометрической окружности. Подходят: 
б) 
б) 
Далее, 
б) 
члены серии не больше 
а потому все они лежат левее отрезка 
соответствует член 
он лежит в отрезке. Значению 
соответствует член 
он лежит в отрезке. При 
члены серии не меньше 
а потому они лежат правее отрезка 
и 
б) 
б) 
на тригонометрической окружности. Получаем: 
б) 
справедливо тождество 
Поэтому при условии 
то есть если 
уравнение принимает вид
попадают корни 
(см. рис.).
лежит число 
б) 
где параметр k пробегает множество целых чисел. 
при помощи двойного неравенства. Находим: 
б) 
б) 0, 
и 
и 
и 
Для таких значений x можно умножить обе части уравнения на 
не входит в ОДЗ уравнения. 
