Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 636742
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: синус в кубе x умно­жить на ко­си­нус 3 x плюс ко­си­нус в кубе x умно­жить на синус 3 x, зна­ме­на­тель: | синус 2 x| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка 2 Пи ; 4 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем чис­ли­тель, ис­поль­зуя фор­му­лы двой­ных и трой­но­го ар­гу­мен­та:

 синус в кубе x умно­жить на ко­си­нус 3 x плюс ко­си­нус в кубе x умно­жить на синус 3 x = синус в кубе x левая круг­лая скоб­ка 4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус в кубе x левая круг­лая скоб­ка 3 синус x минус 4 синус в кубе x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= синус x ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 4 синус в квад­ра­те x ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 синус в квад­ра­те x плюс 3 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 4 ко­си­нус в квад­ра­те x синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= синус x ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 3 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка = 3 синус x ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x ко­си­нус 2x.

Таким об­ра­зом,

 дробь: чис­ли­тель: синус в кубе x умно­жить на ко­си­нус 3 x плюс ко­си­нус в кубе x умно­жить на синус 3 x, зна­ме­на­тель: | синус 2 x| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: | синус 2x| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: синус 2x, зна­ме­на­тель: | синус 2x| конец дроби ко­си­нус 2x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Дробь в левой части урав­не­ния при­ни­ма­ет зна­че­ния 1 или −1. Рас­смот­рим оба слу­чая.

Если  синус 2x боль­ше 0, то по­лу­ча­ем, что  ко­си­нус 2x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Обоим этим усло­ви­ям од­но­вре­мен­но удо­вле­тво­ря­ют лишь числа 2x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, от­ку­да x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Если  синус 2x мень­ше 0, то по­лу­ча­ем, что  ко­си­нус 2x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Этим усло­ви­ям од­но­вре­мен­но удо­вле­тво­ря­ют числа 2x = минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, а зна­чит, x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z .

 

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка 2 Пи ; 4 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , от­бе­рем при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств:

2 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k мень­ше или равно 4 Пи рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k= 2,k= 3; конец со­во­куп­но­сти .

2 Пи \leqslant минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n мень­ше или равно 4 Пи рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний n = 3,n = 4. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ров со­от­вет­ству­ют числа  дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 414
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, Урав­не­ние с мо­ду­лем
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы для трой­ных углов, Фор­му­лы двой­но­го угла, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли